丘成桐證明了卡拉比猜想、正質量猜想等,是幾何分析學科的奠基人,以他的名字命名的卡拉比-丘流形,是物理學中弦理論的基本概念,對微分幾何和數學物理的發(fā)展做出了重要貢獻。 美國階段
他的突出成績和鉆研精神為當時的美籍教授薩拉夫所賞識,薩拉夫力薦他到美國加利福尼亞大學伯克利分校攻讀博士研究生。19歲的時候來到美國加州大學伯克利分校?!?1歲畢業(yè)時就注定要改變數學的面貌”這不是作者的話,這是幾年前加州大學洛杉磯分校希望把丘教授聘請過來的時候,系里討論時一個年紀很大的幾何學家引用陳省身先生說的一句話。在伯克利學習期間他證明了卡拉比猜想、正質量猜想,開創(chuàng)了一個嶄新的領域:幾何分析。當年他只有28歲。也就是說,從入學伯克利到他在世界數學家大會做一小時報告之間相隔還不到10年。在他作報告的那一年,陳景潤先生也同時被邀請做45分鐘的報告。 丘成桐
20世紀70年代左右的伯克利分校是世界微分幾何的中心,云集了許多優(yōu)秀的幾何學家和年輕學者。在這里,丘成桐得到IBM獎學金,并師從著名微分幾何學家陳省身。數學是奇妙的,也是生澀的。即使是立志在數學領域建功立業(yè)的年輕學生,能堅持到最后并出成果的,也是寥若晨星。丘成桐正可謂這樣一顆“晨星”。常常有這樣的情景——偌大的教室中,聽課的學生越來越少,最后竟然只剩下教授一人面對講臺下唯一的學生悉心教誨。這唯一的學生,就是丘成桐。到伯克利分校學習一年后,丘成桐便完成了他的博士論文,文中巧妙地解決了當時十分著名的“沃爾夫猜想”。他對這個問題的巧妙解決,使當時的世界數學界意識到一個數學新星的出現。丘成桐是公認的當代最具影響力的數學家之一。他的工作深刻變革并極大擴展了偏微分方程在微分幾何中的作用,影響遍及拓撲學、代數幾何、表示理論、廣義相對論等眾多數學和物理領域。 解決Calabi猜想,即一緊Kahler流形的第一陳類≤0時,任一陳類的代表必有一Kahler度量使得其Ricci式等于此陳類代表。這在代數幾何中有重要的應用。 與蕭蔭堂合作證明單連通Kahler流形若有非正截面曲率時必雙全純等價于復歐氏空間,并給Frankel猜想一個解析的證明。 在各種Ricci曲率條件下估計緊黎曼流形上Laplace算子的第一與第二特征值。 1976年解決關于凱勒-愛因斯坦度量存在性的卡拉比猜想,其結果被應用在超弦理論中,對統(tǒng)一場論有重要影響。第一陳類為零的緊致凱勒流形稱為卡拉比-丘流形,在數學與弦論中都很重要。作為應用,丘成桐還證明了塞梵利猜想,發(fā)現Miyaoka-丘不等式。丘成桐對c1> 0 情形的凱勒-愛因斯坦度量存在性也作出了重要的貢獻,猜想了它與代數幾何中幾何不變量理論意義下的穩(wěn)定性的關系。這激發(fā)了Donaldson 關于數量曲率與穩(wěn)定性等一系列的重要工作。 與鄭紹遠合作證明實與復的Monge-Ampère 方程解的存在性,并證明高維閔科夫斯基問題,擬凸域的凱勒-愛因斯坦度量存在性問題。 丘成桐開創(chuàng)了將極小曲面方法應用于幾何與拓撲研究的先河。通過對極小曲面在時空中行為的深刻分析,1978年他與R.舍恩合作解決了愛因斯坦廣義相對論中的正質量猜想。
丘成桐與Karen Uhlenbeck 合作證明了任意緊致凱勒流形上穩(wěn)定叢的Hermitian-Einstein 度量的存在性,推廣了Donaldson 關于射影代數曲面,以及Narasimhan 和Seshadri 關于代數曲線的結果。
丘成桐與Meeks 合作解決了三維流形極小曲面一個著名的問題,即一條極值約當曲線的極小圓盤的Plateau 問題的Douglas 解,當邊界曲線是一個凸邊界的子集,那么它在三維空間中是嵌入的。他們接著證明這些嵌入極小曲面在有限群作用下是等變的。他們的工作與Thurston 的工作相結合,可以推出著名的史密斯猜想。
丘成桐與連文豪、劉克峰合作證明了弦論學家提出的著名的鏡對稱猜想。這些公式給出了用對應的鏡像流形上的Picard-Fuchs 方程表示的一大類卡拉比-丘流形上有理曲線數目的顯式表達。 丘成桐與劉克峰、孫曉峰合作證明曲線??臻g上各種幾何度量的等價性,被國際學術界命名為劉孫丘度量。 1984年與Uhlenbeck合作解決在緊Kahler流形上穩(wěn)定的全純向量叢與Yang-Mills-Hermite度量是一一對應的猜想,并得出陳氏的一 個不等式。
丘成桐正研究的鏡流形,是Calabi-丘流形的一特殊情形,與理論物理的弦理論有密切關系,引起數學界的廣泛注意等等。
其他領域
丘成桐在物理學和工程學上都有非常重要的影響,他也因此被聘為哈佛大學物理學的終身教授,成為哈佛大學有史以來兼任數學系教授和物理系教授的唯一一人。丘成桐教授在工程學的各個分支做出了很重要的貢獻,這些學科包括控制論、圖論(應用到社會科學)、數據分析、人工智能和三維圖像處理,丘成桐在這些方面已經發(fā)表了幾十篇重要的論文,多次被工程學大會邀請做重要演講和大會報告。 對中國貢獻
丘成桐對中國的數學事業(yè)一直非常關心。
從1984年起,他先后招收了十幾名來自中國的博士研究生,要為中國培養(yǎng)微分幾何方面的人才。他的做法是,不僅要教給學生一些特殊的技巧,更重要的是教會他們如何領會數學的精辟之處。他的學生田剛,也于1996年獲得了維布倫獎,被公認為世界最杰出的微分幾何學家之一。
丘成桐
丘成桐教授是第一位榮獲菲爾茲獎的華裔人士。他熱心于幫助發(fā)展中國的數學事業(yè)。自1979年以來多次到中國科學院進行高質量的講學。由科學出版社出版了專著《微分幾何》,內容主要是他的研究結果。他還直接指導培養(yǎng)中國的數學博士生,至今已有10余人,成績顯著。1994年6月8日當選為首批中國科學院外籍院士。雖然丘成桐是在香港長大的,但他出生于中國大陸,深受中國傳統(tǒng)文化的影響,并堅信幫助中國推動數學發(fā)展是自己的責任。在二十世紀七十年代中國對外開放后,丘成桐受到中國著名數學家華羅庚的邀請,于1979年訪問中國。
為了幫助發(fā)展中國數學,丘成桐想盡了各種辦法,與他鉆研數學問題頗為相似。他培養(yǎng)來自中國的留學生,建立數學研究所與研究中心,組織各種層次的會議,發(fā)起各種人才培養(yǎng)計劃,并募集大量資金。
丘成桐建立的第一個數學研究所是1993年成立的香港中文大學數學研究所。第二個是1996年建立的北京晨興數學中心。中心建立與運作的大部分經費都是丘成桐從香港晨興基金會籌得的。第三個是建立于2002年的浙江大學數學科學中心。第四個2009年建立的清華大學數學研究中心。
丘成桐是這三大研究機構的主任,經常例行工作視察,作報告,指導學生,組織學術會議與暑期學校等。除了這三個研究中心,丘對于臺灣理論科學中心的建立以及臺灣數學的發(fā)展作出了重要的貢獻。1997年,他受臺灣新竹清華大學校長劉炯朗邀請,作為講席教授訪問一年。若干年后,他建議已是“臺灣國家科學委員會”主席的劉炯朗,建立理論科學中心。正式成立是在1998年。他擔任理論科學中心顧問委員會主任直到2005年。 為了增進華人數學家的交流與合作。丘成桐發(fā)起組織國際華人數學家大會。會議每三年一屆。除了邀請報告外,還邀請幾位非華裔數學家作晨興講座。每次大會的焦點是頒發(fā)晨興數學獎,陳省身獎。第一屆大會于1998年12月12-18日在北京晨興數學中心召開。來自世界各地華人數學家的反響與支持非常熱烈,有400多人與會。這是第一次在中國舉行的重要數學國際會議。第二屆大會于2001年在臺灣召開,第三屆大會2004年在香港舉行,第四屆大會2007年在浙江大學舉行,第五屆大會于2010年在清華大學舉行。第六屆大會于2013年在臺灣大學舉行。從第三屆大會開始正式設立面向大學生,碩士與博士生的新世界數學獎。 為了激發(fā)中學生對于數學研究的興趣和創(chuàng)造力,培養(yǎng)和發(fā)現年輕的數學天才,2004年,丘成桐首先在香港成立了面向香港中學生的兩年一屆的“恒隆數學獎”。