在數(shù)論中，分圓域是在有理數(shù)域Q中添加復(fù)數(shù)單位根進(jìn)行擴(kuò)張而得到的數(shù)域。

學(xué)科

數(shù)論

領(lǐng)域

數(shù)論

介紹

將n次單位根

加入而得到的分圓域稱為n次分圓域，記作

。

由于與費(fèi)馬最后定理的聯(lián)系，分圓域在現(xiàn)代代數(shù)和數(shù)論的研究中扮演著重要的角色。正是因?yàn)閹?kù)默爾對(duì)這些數(shù)域上（特別是當(dāng) p為素?cái)?shù)時(shí)）的算術(shù)的深入研究，特別是在相應(yīng)整環(huán)上唯一分解定理的失效，使得庫(kù)默爾引入了理想數(shù)的概念，并證明了著名的庫(kù)默爾同余。

性質(zhì)

n次分圓域是多項(xiàng)式

的分裂域，因此是有理數(shù)域的伽羅瓦擴(kuò)域。這個(gè)擴(kuò)張的

次數(shù)：

等于

，其中

是歐拉函數(shù)。

的所有伽羅瓦共軛是

，其中 a 遍歷模 n的簡(jiǎn)化剩余系（所有與 n 互質(zhì)的剩余類）。同樣地，n次分圓域的伽羅瓦群同構(gòu)于模 n 的乘法群

，其元素為

與正多邊形的聯(lián)系

高斯最早在研究尺規(guī)作正多邊形問(wèn)題時(shí)涉及到了分圓域的理論。這個(gè)幾何問(wèn)題實(shí)際上可以被轉(zhuǎn)化為伽羅瓦理論下的敘述：對(duì)什么樣的 n， n次分圓域可以通過(guò)若干次的二次擴(kuò)張得到？高斯發(fā)現(xiàn)正十七邊形是可以用尺規(guī)作出的。更一般地說(shuō)，對(duì)于一個(gè)素?cái)?shù) p，正 p邊形可以用尺規(guī)作出當(dāng)且僅當(dāng) p為費(fèi)馬素?cái)?shù)。

與費(fèi)馬最后定理的聯(lián)系

研究費(fèi)馬最后定理時(shí)，一個(gè)很自然的思路是將

分解為

的形式，其中的 n是一個(gè)奇素?cái)?shù)。這樣得到的一次因式都是 n次分圓域中的代數(shù)整數(shù)。如果在 n次分圓域中算術(shù)基本定理成立，代數(shù)整數(shù)的素?cái)?shù)分解是唯一的，那么可以通過(guò)它來(lái)確定方程是否有非平凡解。

然而，對(duì)于一般的 n，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。但是，庫(kù)默爾找到了一個(gè)繞過(guò)這個(gè)困難的辦法。他引進(jìn)了“理想數(shù)”的概念，作為對(duì)素?cái)?shù)概念的改良。他將代數(shù)整數(shù)的素?cái)?shù)分解不唯一的概念量化為類數(shù)： h，并證明了如果 h不能被 p整除（這樣的 p被稱為正規(guī)素?cái)?shù)），那么費(fèi)馬的猜想對(duì)于

是成立的。此外，他給出了庫(kù)默爾準(zhǔn)則來(lái)判斷素?cái)?shù)是否是正規(guī)的。運(yùn)用這個(gè)準(zhǔn)則，庫(kù)默爾檢驗(yàn)了100以下的素?cái)?shù)，除了三個(gè)“不正規(guī)”的：37、59和67。

二十世紀(jì)后，庫(kù)默爾關(guān)于分圓域的類數(shù)的同余理論被日本數(shù)學(xué)家?guī)r澤健吉推廣為巖澤理論。

參見(jiàn)

??克羅內(nèi)克-韋伯定理

??單位根