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羅爾中值定理
微分學中一條重要的定理
三大微分中值定理之一
證明過程
幾何意義
若連續(xù)曲線
在區(qū)間 [a,b] 上所對應(yīng)的弧段 AB，除端點外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標相等，則在弧 AB 上至少有一點 C，使曲線在C點處的切線平行于 x 軸。
幾種特殊情況
（1）有界開區(qū)間上的有界函數(shù)
若函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
，則至少存在一個
，使得
。
（2）有界區(qū)間上的無界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
（或
），則至少存在一個，使得。
（3）無界區(qū)間上的有界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間
上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
，則至少存在一個
，使得。
（4）無界區(qū)間上的無界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間
上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
（或），則至少存在一個，使得。
（5）半無界區(qū)間上的有界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間[
)上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
，則至少存在一個
，使得。
（6）半無界區(qū)間上的無界函數(shù)
若函數(shù) 在區(qū)間[ )上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
（或），則至少存在一個，使得。
證明
這里僅選擇特殊情況（2）、（3）加以證明，其余證明的思路大致類似。
定理 若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且可導(dǎo)，并有。則至少存在一個，使得。
證明：至少可取到一點
，使
，否則 恒等于
，對于任意的實數(shù)
，都有。
不妨設(shè)
，取
，顯然
。根據(jù)極限定義，由
可得
任取
，則有
，
。
利用
，類似地可知存在
，使
。
定理 若函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且可導(dǎo)，并有
。則至少存在一個，使得。
證明：任取，因為
，所以至少存在一點
，使
。
類似地由 可知存在一點
，使
。
這就有了
且，
于是，在閉區(qū)間
上連續(xù)，則在閉區(qū)間 上必有 的最小值點，由于閉區(qū)間 的兩個端點都不可能是 的最小值點，由此可知，根據(jù)費馬定理可知。
范例解析
用羅爾中值定理證明：方程
3
在 (0,1) 內(nèi)有實根。
證明：設(shè)
則 F(x) 在 [0,1] 上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，
，
所以由羅爾中值定理，至少存在一點
，使得
，
所以
，
所以ξ是方程
在 (0,1) 內(nèi)的一個實根。
結(jié)論得證。
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