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隨機(jī)游走
現(xiàn)代詞匯
基本信息
| 中文名 | 隨機(jī)游走 |
| 應(yīng)用 | 計(jì)算機(jī)、金融 |
| 核心 | 一個(gè)擴(kuò)散運(yùn)輸定律 |
| 定義 | 任何無(wú)規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對(duì)應(yīng)著一個(gè)擴(kuò)散運(yùn)輸定律。 |
無(wú)規(guī)則行走
英文：random walk
核心概念：任何無(wú)規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對(duì)應(yīng)著一個(gè)擴(kuò)散運(yùn)輸定律。
隨機(jī)游走
無(wú)規(guī)則行走與擴(kuò)散定律
無(wú)規(guī)則行走在任意尺度上都具有相似結(jié)構(gòu)。例如一個(gè)在二維（d=2）格子上游動(dòng)，每一定時(shí)間以相同概率移動(dòng)到其相鄰位置，其軌跡即二維隨機(jī)軌跡，同樣可以擴(kuò)展到三維。舉個(gè)例子，你取2 個(gè)硬幣一個(gè)1 分，一個(gè)5 分。你每五秒，將2 個(gè)硬幣擲一次，1 分硬幣用于左右移動(dòng)標(biāo)記，5 分硬幣用于前后移動(dòng)標(biāo)記，繪出路徑就是你的二維無(wú)規(guī)則行走。假如你走了1000 步那么你回到起點(diǎn)的方式M0 有多少種？那么么必須正反面各500 次。即，對(duì)一個(gè)特定投幣序列將投出正面的序號(hào)列出清單，清單包括500 個(gè)不同的整數(shù)這個(gè)量為：1000！/500！，而任意兩張清單只在元素存在換序的差異，則實(shí)際上并無(wú)區(qū)別所以必須除以可能的置換數(shù)500！。M0=1000！/（500！×500?。?，“！”表示階乘。回到原點(diǎn)的概率P0=M0/ M，這個(gè)概率滿足二項(xiàng)式分布。對(duì)于所有M 種可能可以用斯特林公式：LNM！≈M lnM－M + ?ln(2πM)。通過(guò)計(jì)算我們知道回到起點(diǎn)的概率很低。
要想找出第1000 步后你走了多遠(yuǎn)，你可以列出1000 次投幣的結(jié)果序列然后對(duì)所有（x1000）的2次方 求平均，得到1000 步后的均方位置；這顯然太復(fù)雜，好在還有另外的方法。我們可以將所有2的N次方 種可能行走一一配對(duì)，每一配對(duì)由相同的x（N-1 ）；{（N-1)為x的下腳標(biāo)}的兩個(gè)可能性相等的行走組成，只是最后一步不同。N 步隨機(jī)性走的均方位移比N－1 步大a的2次方，后者又比N－2 步大a的2次方，均方位移=Na的2次方。a 為格子間隔，每一個(gè)格子點(diǎn)上游動(dòng)的可能方向有2d 個(gè)（d 是格子維數(shù)）單位時(shí)間內(nèi)游動(dòng)的方差為D=a2/(2d)t ，D 為擴(kuò)散系數(shù)（一些參考書中也用字母K 表示，a后面的2為次方，后面凡數(shù)字在字母后面都表示指數(shù)）。對(duì)于一維無(wú)規(guī)則行走的均方位移隨時(shí)間線性增加2Kt，擴(kuò)散常數(shù)D=a2/(2Δt)。這個(gè)邏輯可以推廣到二維和三維。
圖1.130 醉酒人的無(wú)規(guī)則行走  隨機(jī)游走 |
也許行走若干個(gè)步后他會(huì)回到出發(fā)點(diǎn)，但這樣的概率非常小。他離開酒吧的距離滿足擴(kuò)散定律。
圖1.131  隨機(jī)游走 |
(a)二維無(wú)規(guī)則行走；(b)當(dāng)步驟更多，步幅更低時(shí)二維無(wú)規(guī)則行走；(c)三維無(wú)規(guī)則行走。
擴(kuò)散定律
擴(kuò)散以一個(gè)初始分布釋放大量的無(wú)規(guī)則行走，觀察他們的密度就會(huì)得到分布函數(shù)。1855 年法國(guó)生理學(xué)家Fick 提出了描述擴(kuò)散規(guī)律的基本公式— 菲克定律，在一維（如x 方向擴(kuò)散的）粒子流密度（即單位時(shí)間內(nèi)在單位截面上擴(kuò)散的粒子流）J N 與粒子數(shù)密度梯度dc/dx成正比。擴(kuò)散通量J=－D×(dc/dx)，稱為菲克定律又稱擴(kuò)散第一定律。進(jìn)一步消掉J，找出濃度隨時(shí)間的變化關(guān)系dc/dt=D(d2c/dx2)其中2都是上角標(biāo)，稱為菲克第二定律；在高等教材中可以寫成偏導(dǎo)的形式d 換成?。
任何單次步驟不會(huì)遵從擴(kuò)散定律，但只要等待足夠長(zhǎng)的時(shí)間和步驟，便可精確預(yù)測(cè)無(wú)規(guī)則行走。布朗運(yùn)動(dòng)就是無(wú)規(guī)則行走這一現(xiàn)象的宏觀觀察。通過(guò)擴(kuò)散定律我們將布朗運(yùn)動(dòng)的微觀參數(shù)（步長(zhǎng)a 和間隔時(shí)間Δt）與宏觀實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)量（擴(kuò)散常數(shù)D）建立了聯(lián)系。然而一個(gè)方程無(wú)法解出兩個(gè)未知量，測(cè)量K 不足以得到a 和Δt。這意味著還需要其他能夠說(shuō)明摩擦與擴(kuò)散定量聯(lián)系的公式。
擴(kuò)散定律是跨學(xué)科的普適定律
對(duì)無(wú)規(guī)則行走的數(shù)學(xué)處理使用了過(guò)于簡(jiǎn)化的假設(shè)，擴(kuò)散定律是普適的，只要給定獨(dú)立隨機(jī)行走的某種分布，它就不依賴于具體的模型。漲落是隨機(jī)的、混沌的，無(wú)規(guī)則行走的結(jié)果就是擴(kuò)散，這包括物質(zhì)擴(kuò)散、動(dòng)量擴(kuò)散、熱量擴(kuò)散等。這也意味著結(jié)晶學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、氣象學(xué)、流體力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)都將用到擴(kuò)散定律。擴(kuò)散定律是普適的，在這里我們作為一個(gè)結(jié)論而接受下來(lái)，具體的一系列數(shù)學(xué)證明過(guò)程給予舍棄。感興趣的朋友可以參見任何一本物理化學(xué)教材或分形教材。
擴(kuò)散定律與守恒量
擴(kuò)散是一個(gè)隨機(jī)漲落的過(guò)程，在本科一年級(jí)的物理課程已經(jīng)提及一個(gè)落體最終會(huì)達(dá)到取決于摩擦的“末速度”。以懸浮顆粒來(lái)考慮摩擦，顆粒雖然受隨機(jī)碰撞，仍獲得了一個(gè)凈漂移速度。v=f/ζ ，ζ=2m/Δt 其中ζ是黏性摩擦系數(shù)，與擴(kuò)散系數(shù)一樣可以實(shí)驗(yàn)測(cè)量。摩擦源于物理實(shí)體與周圍熱致擾動(dòng)的流體隨機(jī)碰撞。每一種顆粒當(dāng)置于不同的溶劑中時(shí)都會(huì)有相應(yīng)特征D（擴(kuò)散系數(shù)）和ζ。球體的黏性摩擦系數(shù)與尺寸間存在簡(jiǎn)單關(guān)系，ζ=6πηR 斯托克斯（stokes）公式；R 是顆粒半徑，η是常數(shù)稱為流體黏度（水的黏度為10－3kg/ms）。由于有效步長(zhǎng)a 和Δt 無(wú)法觀察，要想證實(shí)擴(kuò)散與粘滯僅僅是熱運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方面，我們還需要第三個(gè)關(guān)系。愛因斯坦注意到a 和Δt 的關(guān)系，按照推到理想氣體定律的思路：(a/Δt)2=kBT/m，聯(lián)合起來(lái)就構(gòu)成愛因斯坦第一擴(kuò)散公式：ζD=kBT。這個(gè)關(guān)系由愛因斯坦在1905 年的碩士論文中得到，這表明顆粒位置的漲落與摩擦阻力相聯(lián)系，并且這個(gè)關(guān)系是定量普適的。越小的顆粒受到摩擦阻力越小，但擴(kuò)散系數(shù)會(huì)更大，更容易擴(kuò)散。ζD 的乘積提供了一個(gè)可證偽的預(yù)言來(lái)檢驗(yàn)“熱即分子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)”；這個(gè)與預(yù)言提出不久就立刻被佩蘭（Jeans Perrin）和其他人的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。任何無(wú)規(guī)則行走攜帶的守恒量都各自對(duì)應(yīng)一個(gè)擴(kuò)散定律。
理想狀態(tài)
無(wú)規(guī)則行走只是布朗運(yùn)動(dòng)的理想狀態(tài)
在很多系統(tǒng)都存在不同類型的無(wú)規(guī)則行走，他們都具有相似結(jié)構(gòu)。單個(gè)的隨機(jī)事件我們不可預(yù)測(cè)，但隨機(jī)大量的群體行為，卻是精確可知的，這就是概率世界的魅力，在偶然中隱含著必然。隨機(jī)性造成了低尺度下的差異性，但在高尺度下又表現(xiàn)為共同的特征的相似性。按照概率的觀點(diǎn)“宇宙即是所有隨機(jī)事件概率的總和”。
相關(guān)研究
橢球體布朗運(yùn)動(dòng)相關(guān)研究
雖然無(wú)規(guī)則行走導(dǎo)致的擴(kuò)散滿足以上的方程并有普適性，但假如這樣的的“無(wú)規(guī)則行走”某個(gè)方向，并不是完全隨機(jī)呢？以前面提到的投硬幣為例子，一個(gè)1 分，一個(gè)5 分，其中1 分硬幣破損使得正反面概率不相等，并且隨機(jī)若干步后，將1 分和5 分硬幣所代表的方向?qū)φ{(diào)；那么二維的無(wú)規(guī)則行走路徑必然發(fā)生改變。當(dāng)年愛因斯坦的論文是探討球形顆粒的布朗運(yùn)動(dòng)，我們知道球形顆粒的旋轉(zhuǎn)并不影響他的平移，旋轉(zhuǎn)的非球形例子卻會(huì)影響它的平移。實(shí)際中，大量布朗運(yùn)動(dòng)的顆粒都是非球形的，所以更多的模型不得不考慮隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。其實(shí)即使對(duì)球形顆粒在黏性流體中，也要考慮隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù)對(duì)擴(kuò)散的影響。
賓夕法尼亞大學(xué)的網(wǎng)站報(bào)道，研究人員用數(shù)字視屏顯微鏡觀察水中懸浮橢球體的隨機(jī)旋轉(zhuǎn)和移動(dòng)。球形顆粒擴(kuò)散分布將隨時(shí)間逐漸變寬，為高斯型濃度分布；而橢球顆粒不滿足高斯分布。隨著布朗運(yùn)動(dòng)的深入研究，越來(lái)越多的實(shí)驗(yàn)表明布朗運(yùn)動(dòng)顆粒的行為與愛因斯坦一個(gè)世紀(jì)前的假設(shè)不同。2005 年10 月的物理評(píng)論快報(bào)，提到現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)室可以跟蹤布朗運(yùn)動(dòng)顆粒的測(cè)量精度達(dá)到微秒和納米的尺度?？茖W(xué)家們也發(fā)現(xiàn)活細(xì)胞的許多基本過(guò)程由布朗運(yùn)動(dòng)所驅(qū)動(dòng)。試驗(yàn)結(jié)果描述布朗運(yùn)動(dòng)的方程式偏離標(biāo)準(zhǔn)理論的，實(shí)際的布朗運(yùn)動(dòng)要比理想化的無(wú)規(guī)則行走要復(fù)雜。
圖1.132 橢球體在水中的布朗運(yùn)動(dòng)。  隨機(jī)游走 |
標(biāo)準(zhǔn)的無(wú)規(guī)則行走，色彩標(biāo)記顯示出橢球的耦合方向和位移，并清楚的表明橢球的擴(kuò)散其長(zhǎng)軸比其短軸擴(kuò)散更快。（此圖來(lái)源于賓夕法尼亞大學(xué)網(wǎng)站關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的研究）
還原論觀點(diǎn)的缺憾
布朗運(yùn)動(dòng)是分形的典型例子，理想狀態(tài)下的布朗運(yùn)動(dòng)是高斯正態(tài)分布，當(dāng)然更多的布朗運(yùn)動(dòng)研究細(xì)節(jié)我們不做探討。任何事物都不是孤立的，都是相互作用、相互聯(lián)系的。用還原論觀點(diǎn)將系統(tǒng)一個(gè)個(gè)隔離是對(duì)事物的理想化，是在一定程度上精確定量描述系統(tǒng)，當(dāng)然這也是認(rèn)識(shí)事物必經(jīng)的步驟，但是有缺陷的。
哥德爾不完備定理，以及認(rèn)識(shí)主體對(duì)客體的反映永遠(yuǎn)存在這不完備性。我觀贊同哥本哈根學(xué)派的主張“自然科學(xué)不是自然界本身，而是人和自然界間關(guān)系的一部分，因而依賴人”。無(wú)論用還原論還是整體論都是用抽象去闡明物質(zhì)的特性，這些抽象在任何時(shí)候僅僅是近似地、有條件的把握了物質(zhì)的本質(zhì)，不是世界的全部。布朗運(yùn)動(dòng)研究的歷史，具有典型性，有點(diǎn)像整個(gè)科學(xué)研究史的縮影。人對(duì)事物的認(rèn)識(shí)總是漸進(jìn)的，不斷深入的，隨著認(rèn)識(shí)深入會(huì)發(fā)現(xiàn)各種模型都是理想化的條件。這種認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)無(wú)法走向事物的絕對(duì)認(rèn)識(shí)，因?yàn)楣铝⒌氖挛锸遣淮嬖诘?，所有的系統(tǒng)都是宇宙整體的一部分。
討論
之所以在大尺度上隨機(jī)事件都會(huì)表現(xiàn)一致性趨向，而低尺度下卻表現(xiàn)差異和不可預(yù)知性。在我看來(lái)也是由于人對(duì)自然界的抽象認(rèn)識(shí)，并不是自然界本身。對(duì)自然的客觀反映，并不是自然界的全部。雖然我本人反對(duì)操作主義，但部分思想是有啟發(fā)的，像“物是操作的總和”、“物的屬性在操作中尋求意義”等等。按照操作主義，科學(xué)真正的物理實(shí)在不存在于科學(xué)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)之外。誠(chéng)然這是錯(cuò)誤的，不可感知并不意味著不存在，但操作主義從另一個(gè)角度向我們說(shuō)明里離我們觀察操作越遠(yuǎn)的尺度，我們對(duì)這些尺度下的事物的客觀反映越模糊。比如普朗克尺度下的時(shí)間與空間特性、宇宙大尺度上星系間的關(guān)系以及融合、又或者存在更高尺度上驅(qū)動(dòng)星系演化的事物等等。我們都還無(wú)法描述但不意味著他們不存在。既然世界是這樣一個(gè)整體，放大蝴蝶效應(yīng)我甚至相信一個(gè)原子的行為可能影響一個(gè)星系（我把它稱為強(qiáng)蝴蝶效應(yīng)），當(dāng)然這個(gè)過(guò)程要花費(fèi)的時(shí)間也許超過(guò)數(shù)百億倍宇宙的年齡。
其他類型的無(wú)規(guī)則行走
P2P與無(wú)規(guī)則行走
許多系統(tǒng)都有類似無(wú)規(guī)則行走的例子。例如：P2P (Peer-to-Peer 對(duì)等計(jì)算，簡(jiǎn)稱P2P)搜索中Random Walk 搜索方法在隨機(jī)漫步中，請(qǐng)求者發(fā)出K 個(gè)查詢請(qǐng)求給隨機(jī)挑選的K 個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)。然后每個(gè)查詢信息在以后的漫步過(guò)程中直接與請(qǐng)求者保持聯(lián)系，詢問(wèn)是否還要繼續(xù)下一步。如果請(qǐng)求者同意繼續(xù)漫步，則又開始隨機(jī)選擇下一步漫步的節(jié)點(diǎn)，否則中止搜索又開始隨機(jī)選擇下一步漫步的節(jié)點(diǎn)，否則中止搜索又開始隨機(jī)選擇下一步漫步的節(jié)點(diǎn)，否則中止搜索。
圖1.133 P2P 搜索中Random Walk 搜索方法搜索信息的擴(kuò)散。  隨機(jī)游走 |
高分子與無(wú)規(guī)則行走
高分子的形狀類似于無(wú)規(guī)則行走，把高分子想象成由N 個(gè)單元排成的長(zhǎng)串。每個(gè)單元都由一個(gè)完全柔軟的鉸鏈與下一個(gè)單元相連，就像一串回形針。熱平衡時(shí)，這些鉸鏈全部處于隨機(jī)選取的角度，高分子每一時(shí)刻的形狀都會(huì)不同，每一時(shí)刻都是一個(gè)無(wú)規(guī)則行走。如果合成的高分子由不同數(shù)量的單元組成，線團(tuán)尺寸的增加正比于其摩爾質(zhì)量的平方根。
如果單元間存在著強(qiáng)烈的相互吸引力，高分子將不再采取無(wú)規(guī)則行走構(gòu)象而是密堆成一個(gè)球體，例如血清球蛋白。可以通過(guò)比較高分子的體積和假設(shè)所有密堆占的最小體積，將高分子分為“緊密型”和“舒展型”。即使高分子不坍縮為團(tuán)，單體也并非真正處于任何位置，兩個(gè)單體不可能占據(jù)空間同一點(diǎn)，這是自回避現(xiàn)象。這樣標(biāo)度指數(shù)（線團(tuán)尺寸的增加正比于其摩爾質(zhì)量的指數(shù)）就由0.5 變?yōu)槠渌?，所以這個(gè)值往往略大一點(diǎn)。不管精確值是什么，高分子運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性可涌現(xiàn)出簡(jiǎn)單的標(biāo)度關(guān)系。
梅爾（B.Maier）和雷德勒爾(J.Radler)首先構(gòu)建了一個(gè)帶正電的表面并讓他吸附帶負(fù)電荷的單鏈DNA 然后對(duì)被吸附的DNA 分子不斷變化的構(gòu)象進(jìn)行連續(xù)快照(DNA 帶有熒光染色)。DNA 分子可以是自交叉的但每次出現(xiàn)這種情況都是一個(gè)消耗結(jié)合能的過(guò)程，在交叉點(diǎn)處那條帶負(fù)電的鏈并不與帶正電的表面接觸，而是被強(qiáng)迫與另一條帶負(fù)電的鏈接觸。因此我們可以認(rèn)為線團(tuán)尺寸遵從二維無(wú)規(guī)自回避行走標(biāo)度律，標(biāo)度指數(shù)為0.75。一旦結(jié)合在平面上，DNA 鏈就開始各種蜿蜒構(gòu)象間的變化，梅爾和雷德勒爾計(jì)算出了高分子鏈的回轉(zhuǎn)半徑與首末端距離的均方有關(guān)，標(biāo)度指數(shù)0.79 接近于理論的0.75。（更多內(nèi)容參見菲利普·納爾遜的《生物物理學(xué)：能量、信息、生命》）
金融市場(chǎng)的無(wú)規(guī)則行走
股票市場(chǎng)由無(wú)數(shù)的亞單元即投資者構(gòu)成。每個(gè)投資者為個(gè)人經(jīng)驗(yàn)、感情和不完全信息所左右，其決策立足于其他投資的的決策以及匯總的信息中的隨機(jī)事件，在經(jīng)濟(jì)學(xué)上研究這樣的決策叫做博弈論（game theory）。當(dāng)然單個(gè)投資者的行為不可預(yù)測(cè)，但長(zhǎng)期來(lái)看，股票價(jià)格作某種帶漂移的無(wú)規(guī)則行走。驅(qū)動(dòng)這個(gè)行走的包括投資者的突發(fā)奇想、自然災(zāi)難、公司倒閉、以及其他不可預(yù)知的新聞事件。為什么行走會(huì)是隨機(jī)？假如一個(gè)分析員發(fā)現(xiàn)12 月末股價(jià)會(huì)上揚(yáng)，到1 月初在下跌，一旦這種規(guī)律被市場(chǎng)參與者得知自然人們會(huì)選擇這段時(shí)間內(nèi)拋出股票，這一行為導(dǎo)致了股票下跌，消除了這種效應(yīng)的可能。股票的公平原則即要求公開信息資源，使得一個(gè)投資者沒有更多戰(zhàn)勝其他投資者的有用信息。在信息完全公開的情況下長(zhǎng)時(shí)間的股票曲線應(yīng)該近似于一維無(wú)規(guī)則行走。
任何無(wú)規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對(duì)應(yīng)著一個(gè)擴(kuò)散運(yùn)輸定律。比如粒子數(shù)守恒對(duì)應(yīng)物質(zhì)擴(kuò)散，能量守恒對(duì)應(yīng)熱傳導(dǎo)定律，熱傳導(dǎo)定律可以看成另一條菲克型定律。
隨機(jī)游走模型
隨機(jī)游走的來(lái)源
現(xiàn)在過(guò)多的談到隨機(jī)游走假說(shuō)是數(shù)理金融中最重要的假設(shè)，它把有效市場(chǎng)的思想與物理學(xué)中的布朗運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，由此而來(lái)的一整套的隨機(jī)數(shù)學(xué)方法成為構(gòu)建數(shù)理金融的基石。（其研究的機(jī)理已經(jīng)在股票研究中應(yīng)用很廣泛）
何謂隨機(jī)游走？
“隨機(jī)游走”（random walk）是指基于過(guò)去的表現(xiàn)，無(wú)法預(yù)測(cè)將來(lái)的發(fā)展步驟和方向。這一術(shù)語(yǔ)應(yīng)用到股市上，則意味著股票價(jià)格的短期走勢(shì)不可預(yù)知，意味著投資咨詢服務(wù)、收益預(yù)測(cè)和復(fù)雜的圖表模型全無(wú)用處。在華爾街上，“隨機(jī)游走”這個(gè)名詞是個(gè)諱語(yǔ)，是學(xué)術(shù)界杜撰的一個(gè)粗詞，是對(duì)專業(yè)預(yù)言者的一種侮辱攻擊。若將這一術(shù)語(yǔ)的邏輯內(nèi)涵推向極致，便意味著一只戴上眼罩的猴子，隨意向報(bào)紙的金融版面擲一些飛鏢，選出的投資組合就可與投資專家精心挑選出的一樣出色
隨機(jī)游走模型的提出是與證券價(jià)格的變動(dòng)模式緊密聯(lián)系在一起的。最早使用統(tǒng)計(jì)方法分析收益率的著作是在 1900年由路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）發(fā)表的，他把用于分析賭博的方法用于股票、債券、期貨和期權(quán)。在巴舍利耶的論文中，其具有開拓性的貢獻(xiàn)就在于認(rèn)識(shí)到隨機(jī)游走過(guò)程是布 朗運(yùn)動(dòng)。1953年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家肯德爾在應(yīng)用時(shí)間序列分析研究股票價(jià)格波動(dòng)并試圖得出股票價(jià)格波動(dòng)的模式時(shí)，得到了一個(gè)令人大感意外的結(jié)論：股票價(jià)格沒 有任何規(guī)律可尋，它就象“一個(gè)醉漢走步一樣，幾乎宛若機(jī)會(huì)之魔每周仍出一個(gè)隨機(jī)數(shù)字，把它加在目前的價(jià)格上，以此決定下一周的價(jià)格?！奔垂蓛r(jià)遵循的是隨機(jī) 游走規(guī)律。
隨機(jī)游走模型有兩種，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：
Y t =Y t-1 +e t ①
Y t =α+Y t-1 +e t ②
式中：
Y t 是時(shí)間序列（用股票價(jià)格或股票價(jià)格的自然對(duì)數(shù)表示）；
e t 是隨機(jī)項(xiàng)，E(e t )=0；Var(e t )=σ 2 ；
模型①稱為“零漂移的隨機(jī)游走模型”，即當(dāng)天的股票價(jià)格是在前一天價(jià)格的基礎(chǔ)上進(jìn)行隨機(jī)變動(dòng)。股票價(jià)格差全部包含在隨機(jī)項(xiàng) e t 中。
模型②稱為“α漂移的隨機(jī)游走模型”，即當(dāng)天的股票價(jià)格是在前一天價(jià)格的基礎(chǔ)上先進(jìn)行一個(gè)固定的α漂移，再進(jìn)行隨機(jī)變動(dòng)。股票價(jià)格差包括兩部分，一部分是固定變動(dòng)α，另一部分也是隨機(jī)項(xiàng) e t 。
由以上隨機(jī)游走模型可以看出，證券價(jià)格的時(shí)間序列將呈現(xiàn)隨機(jī)狀態(tài)，不會(huì)表現(xiàn)出某種可觀測(cè)或統(tǒng)計(jì)的確定趨勢(shì)。即證券價(jià)格的變動(dòng)是不可預(yù)測(cè)的，這恰恰是隨機(jī) 游走模型所揭示的證券價(jià)格變動(dòng) 規(guī)律 的中心思想。那么，隨機(jī)游走模型下所確定的證券價(jià)格的這一變動(dòng)模式與資本市場(chǎng)的效率性之間是什么關(guān)系呢？隨機(jī)變動(dòng)的證券價(jià)格，不僅不是市場(chǎng)非理性的證據(jù)，而正是眾多理性的投資者開發(fā)有關(guān)信息，并對(duì)其做出反映的結(jié)果。事實(shí)上，如果證券價(jià)格的變動(dòng)是可以預(yù)測(cè)的，那才真正說(shuō)明市場(chǎng)的無(wú)效率和非理性。也就是說(shuō)，若 證券市場(chǎng)是有效率的，證券價(jià)格應(yīng)當(dāng)真正符合隨機(jī)游走模型。
t）=0，而這正是獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程所必須的條件。然而當(dāng)H≠1/2時(shí)，不管t取何值，C（t）≠0。分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的這一特征，導(dǎo)致了狀態(tài)持續(xù)性或逆狀態(tài)持續(xù)性。
當(dāng)H>1/2時(shí)，存在狀態(tài)持續(xù)性，即在某一時(shí)刻t以前存在上升（或下降）趨勢(shì)隱含著在時(shí)刻t以后總體上也存在著上升（或下降）的趨勢(shì)；反之，當(dāng)H<1/2 時(shí)存在逆狀態(tài)持續(xù)性，即在某一時(shí)刻t以前存在上升（或下降）趨勢(shì)隱含著在時(shí)刻t以后總體上也存在著下降（或上升）的趨勢(shì)
進(jìn)一步地，應(yīng)用R/S分析法，可以確定信息的兩個(gè)重要方面，Hurst指數(shù)H和平均的周期長(zhǎng)度。周期的存在對(duì)于進(jìn)一步的討論分析具有重要影響。當(dāng)H≠1 /2時(shí)，概率分布不是正態(tài)分布；當(dāng)1/2
值得指出的是，R/S分析法是十分有效的工具，不必假定潛在的分布是高斯分布。H=1/2并不能說(shuō)明時(shí)間序列是一個(gè)高斯隨機(jī)游走，僅表明不存在長(zhǎng)期記憶。如果隨機(jī)游走不再適用，那么許多數(shù)量分析的方法將失去效用，尤其是CAPM和以方差或波動(dòng)程度度量的風(fēng)險(xiǎn)概念。
通過(guò)以上的論述，得到下列基本結(jié)論：
1．對(duì)有效市場(chǎng)假說(shuō)，α必須始終等于2；而對(duì)分形市場(chǎng)分析，α可以在1到2之間變化。這是有效市場(chǎng)假說(shuō)與分形市場(chǎng)分析對(duì)市場(chǎng)特性認(rèn)識(shí)的主要區(qū)別。正是由于α的分?jǐn)?shù)維性質(zhì)充分反映了市場(chǎng)本身所具有的特性
2．分形市場(chǎng)分析不必依賴于獨(dú)立、正態(tài)或方差有限的假設(shè)。
3．應(yīng)用R/S分析法，可以確定信息的兩個(gè)重要方面，Hurst指數(shù)H和平均的周期長(zhǎng)度。
4．公眾對(duì)于信息以非線性方式作出反應(yīng)，因而有偏的隨機(jī)游走是市場(chǎng)的常態(tài)，表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。
5．對(duì)于隨機(jī)游走的偏離程度取決于指數(shù)H。
本文從對(duì)EMH的產(chǎn)生及其發(fā)展討論出發(fā)，從分形的角度探討市場(chǎng)特性的分形市場(chǎng)分析方法及其所反映的市場(chǎng)特性，推廣了資本市場(chǎng)理論，認(rèn)為市場(chǎng)是分形的，服 從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，即有偏的隨機(jī)游走，其研究方法可以采用R/S分析法。公眾對(duì)于信息以非線性的方式作出反應(yīng)，因而呈現(xiàn)出對(duì)信息的不一致性消化、吸收，導(dǎo)致 對(duì)隨機(jī)游走的偏離，并表現(xiàn)為市場(chǎng)的常態(tài)。
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這家伙太懶了，什么都沒寫！
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