龐加萊體（均勻流體球自轉(zhuǎn)時的平衡形狀）

形狀分態(tài)

①梨狀體或卵狀體。和雅可比橢球體相比，一頭稍大，另一頭稍小；

②帶狀體。垂直于自轉(zhuǎn)軸的截面都是橢圓或圓，而子午截面不是橢圓，但與橢圓相差很小。與橢圓比較時，有的弧段上要凸出些，有的則凹下些；

③扇狀體。它的子午截面都是橢圓或圓，而垂直于自轉(zhuǎn)軸的截面不是橢圓，但同橢圓相差很少。與橢圓比較時，有的弧段凸出，有的凹下。

此外，還有一些更復雜的形狀。

研究經(jīng)過

混沌的發(fā)現(xiàn)

當我們試圖描畫由這兩條曲線和它們的無窮次相交（每一次相交都對應于一個雙漸近解）構(gòu)成的圖形時，這些相交形成一種格子、絲網(wǎng)或無限密集的網(wǎng)柵結(jié)構(gòu)；這兩條曲線從不會自相交叉，但為了無窮多次穿過絲網(wǎng)的網(wǎng)節(jié)，它們必須以一種很復雜的方式折疊回自身之上。這一圖形的復雜性令人震驚，我甚至不想把它畫出來。沒有什么能給我們一個三體問題復雜性的更好的概念了。

從截面上一點出發(fā)的系統(tǒng)，經(jīng)過一個過程后，當它再穿過截面時，卻在另一點交于龐加萊截面，簡直無法預言它下一次將從哪一點穿過截面；實際上系統(tǒng)是以無規(guī)的點的序列頻頻穿過龐加萊截面的。這就是混沌，龐加萊在“三體問題”中發(fā)現(xiàn)了混沌！這一發(fā)現(xiàn)表明，即使在“三體系統(tǒng)”，甚至是極為簡化的“希爾約化模型”中，牛頓力學的確定性原則也受到了挑戰(zhàn)，動力系統(tǒng)可能出現(xiàn)極其驚人的復雜行為。并不像人們原來認為的那樣，動力系統(tǒng)從確定性的條件出發(fā)都可以得出確定的、可預見的結(jié)果；確定性動力學方程的某些解，出現(xiàn)了不可預見性，即走向混沌。

其實，在龐加萊動手解決奧斯卡國王的難題的同一年，即1887年，數(shù)學家布倫斯（Bruns，H.）就已證明，三體問題的9個自由度18個二階微分方程，只有10個運動積分，即3個動量積分，3個角動量積分，3個關于質(zhì)心運動的積分和1個能量積分。

1890年，龐加萊將布倫斯的結(jié)論推廣到有攝動參數(shù)的情況；1892年在他的三卷本《天體力學新方法》的第一卷第四章中，他對這個定理做出了一般表述：在通常的保守問題中，經(jīng)典力學正則方程除了滿足能量積分外，不滿足其它任何解析、一致的積分。龐加萊的一般性結(jié)論，實質(zhì)上是指出，可積系統(tǒng)是極少的；許多行為很規(guī)則的系統(tǒng)，當受到擾動后，可能出現(xiàn)不連續(xù)性，其參數(shù)或初始條件的微小變化，就可能引起復雜的、甚或是性質(zhì)上的變化。

龐加萊的工作提出了經(jīng)典力學的確定性原則的適用限度的重大問題，留下了極富啟發(fā)性的論斷和猜想。不過，混沌問題是太復雜了，龐加萊的時代還不具備揭示和描述混沌現(xiàn)象的足夠的知識儲備和數(shù)學工具。雖然憑著他超人的幾何直覺對混沌的復雜性有所洞察，但是他并不真的是“不想”畫出他所發(fā)現(xiàn)的“同宿柵欄”，而是“無法”把它畫出來。這是只有用電子計算機技術(shù)才能處理的復雜幾何圖象。龐加萊的思想是太超前于他的時代了，所以他的發(fā)現(xiàn)在半個多世紀里并未受到科學界的重視；牛頓力學確定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽著混沌廣闊富饒的研究領域。