等距曲面（等距曲面）

內(nèi)容概念

等距曲面指在羅氏空間中，在給定平面α的同一側(cè)，到α的距離相等的點(diǎn)的軌跡。平面α稱(chēng)為等距曲面的底，從曲面上的任一點(diǎn)所引的到底上的垂線稱(chēng)為高。等距面是雙曲線把的直交曲面。它也可以看成等距線繞雙曲線束中的任一條直線旋轉(zhuǎn)而生成的曲面。

羅氏幾何

羅巴切夫斯基幾何的簡(jiǎn)稱(chēng)。非歐幾何的一種，亦稱(chēng)“雙曲幾何學(xué)”。是俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基創(chuàng)立的。羅氏幾何的創(chuàng)立是從研究“歐氏幾何”第5公設(shè)即著名的平行公理(見(jiàn)“歐幾里德幾何”)是否能用其他公理證明開(kāi)始的。平行公理不僅在形式上比其他公設(shè)復(fù)雜，而且在《幾何原本》中，從第29個(gè)命題開(kāi)始才用到這個(gè)公理，于是人們產(chǎn)生了能否把它作為定理而從其他公設(shè)和基本概念導(dǎo)出來(lái)的愿望。從古代開(kāi)始，很多數(shù)學(xué)家企圖證明第5公設(shè)，但經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間都未成功。直到1826年，喀山大學(xué)的數(shù)學(xué)教授羅巴切夫斯基才徹底解決了這一問(wèn)題，他于同年2月23日，在物理數(shù)學(xué)系的會(huì)議上宣讀了《關(guān)于幾何原理的議論》，這篇報(bào)告在1829年刊登在喀山大學(xué)學(xué)報(bào)上。

羅巴切夫斯基早在1815年就開(kāi)始研究第五公設(shè)，最初他企圖用反證法證明第5公設(shè)，但是，從與歐氏平行公理相矛盾的命題出發(fā)，展開(kāi)推論，雖然得出一些在當(dāng)時(shí)看來(lái)是不可思議的結(jié)果，卻始終沒(méi)有發(fā)現(xiàn)邏輯上的矛盾，羅巴切夫斯基由此得出兩個(gè)結(jié)論：①平行公理不能被證明;②新的與歐氏幾何對(duì)立的幾何學(xué)本身無(wú)矛盾，在邏輯上是可能成立的。并于1835年出版專(zhuān)著《新幾何原本》，后人稱(chēng)之為羅巴切夫斯基幾何學(xué)，簡(jiǎn)稱(chēng)“羅氏幾何”。

羅氏幾何引用了與平行公理相反的公理：“過(guò)直線外一點(diǎn)至少可以作兩條直線和已知直線不相交。”同時(shí)證明三角形三內(nèi)角之和小于

基本曲面

羅氏空間的基本曲面是羅氏幾何的主要研究對(duì)象。指羅氏空間中球面、等距曲面和極限球面三種曲面，這三種曲面分別是羅氏空間中三種線把——橢圓線把、雙曲線把和拋物線把的直交曲面。如果以橢圓、雙曲、拋物三種線束中的任一條直線為旋轉(zhuǎn)軸，把圓、等距線、極限圓旋轉(zhuǎn)，就分別得到羅氏空間中的三種回轉(zhuǎn)曲面：球面、等距曲面，及極限球面。

球面介紹

羅氏空間的球面是羅氏空間的三種基本曲面之一。在羅氏空間中，設(shè)

直線把類(lèi)型

羅氏空間中的直線把是羅氏幾何研究的對(duì)象。指羅氏空間中的直線集合，其中每對(duì)直線在一平面上。羅氏空間中的直線把只存在如下三種類(lèi)型：

橢圓線把

2.雙曲線把。垂直于某平面ω的所有直線的集合(如圖2)。

3.拋物線把。在一方向相互平行的所有直線的集合(如圖3)。

極限球面

羅氏空間的極限球面是羅氏空間的三種基本曲面之一。指在羅氏空間中，從直線a的一個(gè)點(diǎn)A，到在確定方向上與a平行的任意直線引等傾割線，其端點(diǎn)的幾何軌跡。點(diǎn)A也是極限球面上的點(diǎn)。直線a及與a在同方向平行的直線稱(chēng)為極限球面的軸線。極限球面是拋物線把的直交曲面，也是極限圓繞其任一軸線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面。

人物簡(jiǎn)介

俄國(guó)數(shù)學(xué)家。生于下諾夫哥羅德(今高爾基城)，卒于喀山。1807年入喀山大學(xué)學(xué)習(xí)，1811年獲碩士學(xué)位并留校工作。1816年任副教授，1822年任教授。還曾任物理數(shù)學(xué)系主任、圖書(shū)館館長(zhǎng)和喀山大學(xué)校長(zhǎng)等職。羅巴切夫斯基是非歐幾里得幾何學(xué)的創(chuàng)始人之一。他從1816年開(kāi)始試作平行公設(shè)(歐幾里得《幾何原本》中的第五公設(shè))的證明。他把全部幾何命題按是否依賴(lài)于平行公設(shè)而分為兩部分，不靠平行公設(shè)的那部分現(xiàn)通稱(chēng)為“絕對(duì)幾何學(xué)”。他從絕對(duì)幾何中的命題“在一個(gè)平面上，過(guò)直線AB外一點(diǎn)至少可作一條直線與AB不相交”出發(fā)，在嚴(yán)密的推導(dǎo)下得到一系列前后一貫的命題，由此構(gòu)成了邏輯上無(wú)矛盾且與絕對(duì)幾何不相沖突，但又與歐幾里得幾何不同的新幾何體系。羅巴切夫斯基稱(chēng)之為“虛幾何學(xué)”，后人則稱(chēng)之為“羅巴切夫斯基幾何學(xué)”。1826年，他在喀山大學(xué)公開(kāi)發(fā)表自己的新學(xué)說(shuō)，但沒(méi)有得到承認(rèn)。以后他陸續(xù)用俄文、法文、德文發(fā)表自己的工作。他去世后，高斯對(duì)他的學(xué)說(shuō)予以肯定，他的工作逐漸引起人們重視。直到1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米發(fā)表著名的論文，給出羅巴切夫斯基幾何學(xué)的直觀解釋?zhuān)陌l(fā)現(xiàn)才最終得到確認(rèn)。除此之外，羅巴切夫斯基在無(wú)窮級(jí)數(shù)論、積分學(xué)和概率論等方面，也有出色的工作。他還是一位杰出的教育家和管理者，創(chuàng)立了喀山數(shù)學(xué)學(xué)派和喀山數(shù)學(xué)教育學(xué)派。其代表作有《具有完善的平行線理論的新幾何學(xué)原理》、《論幾何學(xué)基礎(chǔ)》(1829—1830)、《平行線理論的幾何研究》(1840，德文)等。