閘函數(shù)(barrier function)是用來界定區(qū)域邊界性狀的一種函數(shù)。又稱障礙函數(shù)。處理優(yōu)化問題時(shí)，在極值點(diǎn)的搜索過程中，為保證搜索始終在可行域內(nèi)，對(duì)企圖從可行域內(nèi)部穿越邊界的點(diǎn)，在目標(biāo)函數(shù)中加入障礙項(xiàng)，表示障礙項(xiàng)的函數(shù)即為閘函數(shù)。距邊界越近，障礙越大，當(dāng)趨于邊界時(shí)，障礙趨于無窮大，從而保證最優(yōu)解不會(huì)超出可行域。

外文名

barrier function

基本介紹

閘函數(shù)(barrier function)是用來界定區(qū)域邊界性狀的一種函數(shù)。設(shè)

是

上一點(diǎn)，如果

中存在函數(shù)

滿足條件：

1.

在

中是上調(diào)和的；

2.在

中，

則稱

是

中調(diào)和算子的正則點(diǎn)，稱

為

中調(diào)和算子在

點(diǎn)的閘函數(shù)。如果有界區(qū)域

在

點(diǎn)上滿足外部球條件，那么函數(shù)

就是調(diào)和算子在點(diǎn)

的閘函數(shù)。

正則邊界點(diǎn)

正則邊界點(diǎn)(regular boundary point)是一類邊界點(diǎn)。所謂正則邊界點(diǎn)，是指

的一個(gè)開集ω的邊界點(diǎn)

，使得以

上每個(gè)具有緊支集的連續(xù)函數(shù)f為邊界值的廣義狄利克雷問題的解在

的邊界值與

一致，這等價(jià)于

(或

)在

不瘦。當(dāng)

時(shí)，這等價(jià)于

為

( 或

)的2正則點(diǎn)(參見“α正則點(diǎn)”)，故可采用維納判別法(當(dāng)

時(shí)，用對(duì)數(shù)容量代替的類似判別法)。常用的充分必要判別法還有：

1. 在

存在

閘函數(shù)

，即存在

的開鄰域N及

內(nèi)的上調(diào)和函數(shù)

，使得

2. 對(duì)1.中

的格林函數(shù)G，有

另外，當(dāng)

時(shí)，簡單實(shí)用的充分判別法是所謂龐加萊錐條件，即存在以

為頂點(diǎn)的圓錐體在

的某鄰域與

不相交。

相關(guān)定理

定理1

設(shè)

為區(qū)域

的邊界，

在

上連續(xù)。如果點(diǎn)

是一個(gè)正規(guī)邊界點(diǎn)，則函數(shù)

在點(diǎn)P處連續(xù)，并且

其中

為

的上函數(shù)集。

定理2

設(shè)

為區(qū)域

的邊界，

在

上連續(xù)，如果

上的每一個(gè)點(diǎn)都是正規(guī)邊界點(diǎn)，則Dirichlet問題

的解存在。

由定理2 可知，求解Dirichlet問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)

滿足什么條件時(shí)，

上的每一點(diǎn)都是正規(guī)邊界點(diǎn)。這里給出一種簡單而常見的情況：如果

在點(diǎn)

處滿足外球條件，且外球的球心為

，則

在

內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，在

上連續(xù)，且對(duì)

有

稱滿足此條件的函數(shù)

為

在點(diǎn)P處的閘函數(shù)。