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內(nèi)容解析

線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問(wèn)題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型．

本節(jié)課為該單元的第3課時(shí)，主要內(nèi)容是線性規(guī)劃的相關(guān)概念和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的解法．重點(diǎn)是如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題準(zhǔn)確建立目標(biāo)函數(shù)，并依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何含義運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解。

目標(biāo)解析

1．了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等相關(guān)概念．

了解線性規(guī)劃模型的特征：一組決策變量表示一個(gè)方案；約束條件是一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)是線性的，求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值．熟悉線性約束條件（不等式組）的幾何表征是平面區(qū)域（可行域）．體會(huì)可行域與可行解、可行域與最優(yōu)解、可行解與最優(yōu)解的關(guān)系．

2．掌握實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題建立線性規(guī)劃模型并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行求解的基本思想和步驟．

會(huì)從實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中抽象、識(shí)別出線性規(guī)劃模型．能理解目標(biāo)函數(shù)的幾何表征（一族平行直線）．能依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解和線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值，其基本步驟為建、畫(huà)、移、求、答．

3．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．

對(duì)模型中z的最小值的求解，通過(guò)對(duì)式子的變形，變?yōu)?，利用?shù)形結(jié)合思想，把看作斜率為的平行直線系在y軸上的截距．平移直線，使其與y軸的交點(diǎn)最高，觀察圖象直線經(jīng)過(guò)

，得出最優(yōu)解

．

診斷分析

線性規(guī)劃問(wèn)題的難點(diǎn)表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是將實(shí)際問(wèn)題抽象為線性規(guī)劃模型；二是線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的幾何表征；三是線性規(guī)劃最優(yōu)解的探求．其中第一個(gè)難點(diǎn)通過(guò)第1課時(shí)已基本克服；第二個(gè)難點(diǎn)線性約束條件的幾何意義也在第2課時(shí)基本解決，本節(jié)將繼續(xù)鞏固；第三個(gè)難點(diǎn)的解決必須在二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用數(shù)形結(jié)合的思想方法把目標(biāo)函數(shù)直觀化、可視化，以圖解的形式解決之．

將決策變量x，y以有序?qū)崝?shù)對(duì)

的形式反映，溝通問(wèn)題與平面直角坐標(biāo)系的聯(lián)系，一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)就是一個(gè)決策方案．借助線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確理解線性目標(biāo)函數(shù)在y軸上的截距與z的最值之間的關(guān)系；以數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述運(yùn)用數(shù)形結(jié)合得到求解線性規(guī)劃問(wèn)題的過(guò)程。

l可行解（含最優(yōu)解）的幾何表征

l可行域（約束條件）的幾何表征

l 目標(biāo)函數(shù)的幾何表征

行為分析

通過(guò)前兩課時(shí)，學(xué)生對(duì)于物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題、產(chǎn)品安排問(wèn)題、下料問(wèn)題等已初步學(xué)會(huì)了如何分析實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，能根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)假設(shè)變量，從中抽象出二元一次不等式（組）作為約束條件；能聯(lián)想其幾何意義，用相應(yīng)的平面區(qū)域行表示它們．

在鞏固二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的基礎(chǔ)上，使學(xué)生能從實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中抽象出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；對(duì)于目標(biāo)函數(shù)學(xué)生未必能一下子想到相應(yīng)的直線系，教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生把z看成常數(shù)，把

看成關(guān)于x，y的二元一次方程；然后引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注z與直線

的縱截距的關(guān)系，借助直線的截距概念，把較為復(fù)雜的線性規(guī)劃問(wèn)題變成易于理解和易于操作的圖形變換，直觀地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解和線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲?；

通過(guò)這種從點(diǎn)與數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，線與方程的對(duì)應(yīng)，到平面區(qū)域與不等式組的對(duì)應(yīng)的過(guò)渡和提升，使學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想方法的實(shí)質(zhì)及其重要性．

條件分析

考慮到學(xué)生的知識(shí)水平和消化能力，教師可借助計(jì)算機(jī)或圖形計(jì)算器，從激勵(lì)學(xué)生探究入手，講練結(jié)合，精準(zhǔn)的直觀演示能使教學(xué)更富趣味性和生動(dòng)性．

通過(guò)讓學(xué)生觀察、討論、辨析、畫(huà)圖，親身實(shí)踐，調(diào)動(dòng)多感官去體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模、用模的思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題間的密切聯(lián)系．

過(guò)程設(shè)計(jì)

問(wèn)題引入

引例：某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件，耗時(shí)1h；每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件，耗時(shí)2h．已知該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

問(wèn)題1：該廠生產(chǎn)什么？怎么生產(chǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生讀題，完成實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程．承前一課時(shí)，使學(xué)生進(jìn)一步熟練如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出不等式組（約束條件）并用平面區(qū)域表示．

設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn)x，y件，生產(chǎn)甲產(chǎn)品需滿(mǎn)足；生產(chǎn)乙產(chǎn)品需滿(mǎn)足；生產(chǎn)時(shí)間需滿(mǎn)足，從而得出二元一次不等式組：

（1）

問(wèn)題2：可能的日安排，什么意思？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解日生產(chǎn)方案的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，不等式組（1）的整數(shù)解的實(shí)際意義，并順勢(shì)給出“可行解”、“可行域”概念．

教學(xué)中，可以結(jié)合幾何畫(huà)板，讓學(xué)生“讀出”可行解，即可行域中的18個(gè)整點(diǎn)：

（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；

（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；

（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）；

（3，0），（3，1），（3，2）；

（4，0），（4，1），（4，2）．

對(duì)于邊界附近的點(diǎn)，如

是否可行域中，需引導(dǎo)學(xué)生配合不等式來(lái)判斷，這將有助于學(xué)生手繪解決問(wèn)題時(shí)的慎密思考．

問(wèn)題3：若每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元，如何安排生產(chǎn)利潤(rùn)最大？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)添加最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)入對(duì)新知識(shí)的探究，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)生成的自然和線性規(guī)劃模型的價(jià)值．

問(wèn)題的深入

利潤(rùn)函數(shù)模型的建立．設(shè)生產(chǎn)利潤(rùn)為z（萬(wàn)元），則

．

這是一個(gè)二元函數(shù)，甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量共同影響生產(chǎn)利潤(rùn)，不是學(xué)生熟悉的問(wèn)題．

教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生分別求各種可能安排的利潤(rùn)（列舉）：

0 0 0

0 1 3

… … …

4 1 11

4 2 14

觀察得到，當(dāng)

時(shí)，z最大，z的最大值為14萬(wàn)元．引出最優(yōu)化問(wèn)題，順勢(shì)給出“最優(yōu)解”概念．

問(wèn)題4：如何看待利潤(rùn)函數(shù)的解析式

設(shè)計(jì)意圖：得出利潤(rùn)函數(shù)

后，學(xué)生多會(huì)與一元函數(shù)求最值的問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比，考慮定義域（這里是可行域）的作用，求最值的代數(shù)的或幾何的方法．在學(xué)生活躍的思維中，尋求數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用的契機(jī)．

由利潤(rùn)函數(shù)的解析式

，視z為常數(shù)，則

就是關(guān)于x，y的二元一次方程，在平面直角坐標(biāo)系中，方程

表示斜率為，在y軸上的截距為的一組平行直線（直線是其中的一個(gè)代表）．

由于

中的

，來(lái)自于可行域，所以直線

與可行域有公共點(diǎn)．

可追問(wèn)以下問(wèn)題：

當(dāng)直線

經(jīng)過(guò)可行域中的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，z最大？

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，最大？

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，與y軸的交點(diǎn)最高？

故求z的最大值，可轉(zhuǎn)化為求的最大值，而是直線

在y軸上的截距，只要看直線系

與y軸的交點(diǎn)的最高即可．

從（一元）函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，z是以直線

與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為自變量的（一元）函數(shù)．

由于y的系數(shù)為正，故z是直線的縱截距的增函數(shù)，即當(dāng)直線的縱截距最大（與y軸的交點(diǎn)最高）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值．（熟練之后，就不必化直線方程為斜截式了！）

問(wèn)題5：怎樣求解線性規(guī)劃問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)具體例子，讓學(xué)生梳理問(wèn)題解決的思路，歸納最優(yōu)化問(wèn)題的求解思路：

第1步：依題意，列出不等式組

第2步：畫(huà)出可行域（實(shí)際上也就找到了可行解）．

第3步：依題意，求出目標(biāo)函數(shù)

第4步：作出目標(biāo)函數(shù)所表示的某條直線（通常選作過(guò)原點(diǎn)的直線），平移此直線并觀察此直線經(jīng)過(guò)可行域的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有最大（小）值．

第5步：求（寫(xiě)）出最優(yōu)解和相應(yīng)的最大（?。┲担?/p>

由解得點(diǎn)M的坐標(biāo)

．

當(dāng)

時(shí)，z最大，

（萬(wàn)元）．

教師可作以下示范解答

解：設(shè)……，依題意，得不等式組：

作平面區(qū)域（如圖），

設(shè)……，依題意，得目標(biāo)函數(shù)

．

作直線

，平移之，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，z最大．

由

得點(diǎn)M的坐標(biāo)

．

因此，當(dāng)

時(shí)，z最大，

（萬(wàn)元）．

線性規(guī)劃概念組

問(wèn)題6：什么是線性規(guī)劃問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已經(jīng)獲得感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，給出線性規(guī)劃的相關(guān)概念．

在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問(wèn)題，稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題．線性規(guī)劃問(wèn)題的模型由目標(biāo)函數(shù)和可行域組成，其中可行域是可行解的集合，可行解是滿(mǎn)足約束條件的解．使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解．

結(jié)合本例，讓學(xué)生思考最優(yōu)解、可行解、可行域有怎樣的關(guān)系？

教師總結(jié)，最優(yōu)解一定是可行解，可行解的集合即可行域；最優(yōu)解一般位于可行域的邊界上．并進(jìn)一步概括解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟，可簡(jiǎn)化為5個(gè)字：建、畫(huà)、移、求、答．

建：建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型（約束條件和目標(biāo)函數(shù)）

畫(huà)：畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域；

移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；

求：通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解；

答：回答問(wèn)題，寫(xiě)出答案．

問(wèn)題的變式

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的不同變式，讓學(xué)生熟悉最優(yōu)解的求法，尤其是y的系數(shù)為負(fù)的情況．借助“幾何畫(huà)板”軟件集中呈現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的圖形變化，能提高課堂效率，建立精準(zhǔn)的數(shù)形聯(lián)系．

問(wèn)題7：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，如何安排生產(chǎn)利潤(rùn)最大？

目標(biāo)函數(shù)為，直線與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

作出直線，并平移，觀察知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

時(shí)，直線與y軸的交點(diǎn)最高，即

時(shí)， z取最大值，且