平面圓型限制性三體問題（平面圓型限制性三體問題）

中文詞條

平面圓型限制性三體問題

【外文詞條】plane circular restricted three-body problem

【作??者】趙德滋

取兩個(gè)有限質(zhì)量體P ﹑P 的聯(lián)線為 軸(圖1

﹐

式中為無限小質(zhì)量體的速度﹐ ﹑ 為其坐標(biāo)﹐c 為積分常數(shù)﹐m ﹑m 為P ﹑P 的質(zhì)量。這就是著名的雅可比積分。

當(dāng)無限小質(zhì)量體的速度為零時(shí)﹐上式就成為﹕

。

簡介

這是一個(gè)曲線方程﹐稱為零速度線﹐在空間情況下便是曲面﹐稱希爾曲面。根據(jù)小天體的初始位置和初始速度﹐可以確定積分常數(shù)c ﹐也就確定了零速度線在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的位置。當(dāng)c 的數(shù)值非常大時(shí)﹐它描繪出一條遠(yuǎn)離原點(diǎn)的近于圓形的閉曲線S 以及分別圍繞P 和P 的兩條很小的閉曲線S ﹔當(dāng)c 值逐漸減小時(shí)﹐外面的閉曲線也逐漸縮小﹐P ﹑P 附近的兩條小閉曲線則逐漸擴(kuò)大﹔c 值減小到一定程度時(shí)﹐兩條小閉曲線相遇﹐相遇的點(diǎn)L 稱為自交點(diǎn)。顯然﹐在自交點(diǎn)曲線的法線較蠆蝗范īo也就是奇點(diǎn)的情況。相遇時(shí)﹐里面的曲線記為S ﹐外面的曲線記為S ﹔當(dāng)c 繼續(xù)減小到一定程度時(shí)﹐里面的曲線相遇后繼續(xù)擴(kuò)大為一個(gè)閉曲線S ﹐并與不斷縮小的外面曲線S 相遇于L 點(diǎn)﹔c 再繼續(xù)減小﹐里外兩曲線變成一條閉曲線S ﹐在L 處自己相交﹔最后﹐當(dāng)c 再減小時(shí)曲線分裂成上下兩半﹐即S ﹔c 再繼續(xù)減小到一定程度﹐S 就收縮成為兩個(gè)點(diǎn)﹐即L 和L (圖2

特解

以上五個(gè)點(diǎn)代表平面圓型限制性三體問題的運(yùn)動(dòng)方程的五個(gè)特解。這五個(gè)特解是由拉格朗日首先求得的﹐所以稱為拉格朗日特解﹐又稱平動(dòng)解。它們都在兩個(gè)有限質(zhì)量體所在的平面上﹐并與有限質(zhì)量體保持固定的相對(duì)位置﹐這五個(gè)點(diǎn)稱為平動(dòng)點(diǎn)。五個(gè)平動(dòng)點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)對(duì)稱于x 軸﹐并分別與P ﹑P 組成等邊三角形﹐習(xí)慣上表示為L ( >0)和L ( <0)。若無限小質(zhì)量體的初始位置在L 或L ﹐而且相對(duì)于坐標(biāo)系的初速為零﹐則√焯逶諏礁鲇邢拗柿刻宓奈??漏o隨著有限質(zhì)量體一起作圓周運(yùn)動(dòng)﹐而且與P ﹑P 組成等邊三角形﹐永遠(yuǎn)保持不變﹐因此﹐這兩個(gè)特解又稱為等邊三角形解。另外三個(gè)平動(dòng)點(diǎn)在x 軸上﹐L 位于P 和P 之間﹐L 位于P 的右邊﹐L 位于P 的左邊﹐它們相對(duì)于P ﹑P 都是固定點(diǎn)﹐具體位置與質(zhì)量有關(guān)。由于L ﹑L ﹑L 與P ﹑P 在同一直線上﹐故稱為直線解。這些結(jié)果在空間情況中也同樣成立。

其它

在橢圓型限制性三體問題和更一般的三體問題中﹐也存在等邊三角形解和直線解﹐而且在太陽系中﹐已找到實(shí)際的例子。脫羅央群小行星的運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)例子。這群小行星位于太陽﹑木星等邊三角形解附近﹐已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了15顆﹐其中10顆在平動(dòng)點(diǎn)L 附近﹐5顆在平動(dòng)點(diǎn)L 附近。直線解的例子還不可靠﹐有人認(rèn)為﹐對(duì)日照就是聚集在太陽﹑地球的平動(dòng)點(diǎn)L 附近的塵埃反射太陽光形成的。

1957年以后﹐平面圓型限制性三體問題在討論月球火箭運(yùn)動(dòng)理論中得到了應(yīng)用﹐利用零速度面可以確定火箭飛向月球的最小速度。零速度面在討論運(yùn)動(dòng)區(qū)域時(shí)有重要意義﹐近年來還被用來研究雙星的演化。