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孿生素?cái)?shù)猜想
1900年希爾伯特提出的數(shù)論
孿生素?cái)?shù)就是指相差2的素?cái)?shù)對(duì)，例如3和5，5和7，11和13…。這個(gè)猜想正式由希爾伯特在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的報(bào)告上第8個(gè)問題中提出，可以這樣描述：
素?cái)?shù)對(duì)（p,p+2）稱為孿生素?cái)?shù)。
在1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了一般的猜想：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)（p,p+2k）。k=1的情況就是孿生素?cái)?shù)猜想。
基本信息
| 中文名 | 孿生素?cái)?shù)猜想 |
| 外文名 | Twin prime conjecture |
| 提出者 | 希爾伯特 |
| 提出時(shí)間 | 1900年 |
| 所屬領(lǐng)域 | 解析數(shù)論 |
| 學(xué)科 | 數(shù)學(xué) |
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簡(jiǎn)介
孿生素?cái)?shù)猜想是數(shù)論中的著名未解決問題。這個(gè)猜想產(chǎn)生已久；在數(shù)學(xué)家希爾伯特在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的著名報(bào)告中，它位列23個(gè)“希爾伯特問題”中的第8個(gè)問題，可以被描述為“存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，并且對(duì)每個(gè)p而言，有p+2這個(gè)數(shù)也是素?cái)?shù)”。
孿生素?cái)?shù)即相差2的一對(duì)素?cái)?shù)。例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孿生素?cái)?shù)。
素?cái)?shù)定理說明了素?cái)?shù)在趨于無窮大時(shí)變得稀少的趨勢(shì)。而孿生素?cái)?shù)，與素?cái)?shù)一樣，也有相同的趨勢(shì)，并且這種趨勢(shì)比素?cái)?shù)更為明顯。
由于孿生素?cái)?shù)猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯(lián)系，因此不斷有學(xué)術(shù)共同體外的數(shù)學(xué)愛好者試圖證明它。有些人聲稱已經(jīng)證明了孿生素?cái)?shù)猜想。然而，尚未出現(xiàn)能夠通過專業(yè)數(shù)學(xué)工作者審視的證明。
1849年，波利尼亞克（AlphonsedePolignac）提出了更一般的猜想：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)
的情況就是孿生素?cái)?shù)猜想。素?cái)?shù)對(duì)
稱為孿生素?cái)?shù)。數(shù)學(xué)家們相信這個(gè)猜想是成立的。
2013年5月，張益唐的論文《素?cái)?shù)間的有界距離》在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表，破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了孿生素猜想的弱化形勢(shì)，即發(fā)現(xiàn)存在無窮多差小于7000萬的素?cái)?shù)對(duì)。這是第一次有人證明存在無窮多組間距小于定值的素?cái)?shù)對(duì)。
無限多的證明
關(guān)鍵詞：完全不等數(shù),SN區(qū)間,LN區(qū)間.
大于3的素?cái)?shù)只分布在
兩數(shù)列中。（n非0自然數(shù)，下同）
在6n-1數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陰性素?cái)?shù)了，所以就有陰性素?cái)?shù)定理
在
數(shù)列中只有這兩種合數(shù)，余下就是陽性素?cái)?shù)了，所以就有陽性素?cái)?shù)定理
三、與孿生素?cái)?shù)相對(duì)應(yīng)的完全不等數(shù)
完全不等數(shù)(X),它既不等于陰性上下兩式；也不等于陽性上下兩式。
一個(gè)完全不等數(shù)所產(chǎn)生的陰性素?cái)?shù)q和陽性素?cái)?shù)P就是一對(duì)孿生素?cái)?shù).
并且完全不等數(shù)與孿生素?cái)?shù)是一一對(duì)應(yīng)的.
為了搞清它們?cè)谧匀粩?shù)中分布情況，把四式中的N叫級(jí)別因子數(shù)，M叫無限因子數(shù)。
四種等數(shù)的每一個(gè)級(jí)別的最小等數(shù)都在
范圍。
每一級(jí)別的上等數(shù)相鄰兩等數(shù)距離是，在自然數(shù)列中比例是
，兩種上等數(shù)每個(gè)級(jí)別的比例合計(jì)是
，（但實(shí)際是略少于這個(gè)比例因每一級(jí)別的底部都沒有這個(gè)級(jí)別的上等數(shù)；下等數(shù)也一樣的情況。）
每一級(jí)別的下等數(shù)相鄰等數(shù)的距離是，在自然數(shù)列中的比例是，陰陽兩種下等數(shù)的每個(gè)級(jí)別的合計(jì)比例是。
每個(gè)級(jí)別的四種等數(shù)在自然數(shù)列中的比例是
.
五、四種等數(shù)大小數(shù)列的互相滲透
自然數(shù)列中有陰性上等數(shù)數(shù)列，陰性的下等數(shù)數(shù)列，陽性上等數(shù)數(shù)列和陽性下等數(shù)數(shù)列。它們的級(jí)別有無限多，每一個(gè)級(jí)別的數(shù)列的等數(shù)都是無限多的。同一種等數(shù)級(jí)別不同的數(shù)列都是互相滲透而產(chǎn)生重疊，并以兩級(jí)別的等數(shù)距離的乘積而嚴(yán)格地重疊的。在計(jì)算一種若干的級(jí)別的等數(shù)時(shí)用連乘式正好可以表示它的滲透重疊關(guān)系。四種等數(shù)數(shù)列之間都有互相滲透而重疊，只有同一級(jí)別陰陽上上數(shù)列。下下數(shù)列沒有滲透。四種數(shù)列之間的滲透重疊不用計(jì)算也足夠可以證明了。
六、與素?cái)?shù)分布基本同步的SN區(qū)間
七、每個(gè)大于S8區(qū)間內(nèi)都有8個(gè)以上的完全不等數(shù)
在每一個(gè)SN區(qū)間只有存在1至N級(jí)別的四種數(shù)列等數(shù)，每一級(jí)別等數(shù)的比例是可以確定，由于上下級(jí)別的滲透。就可以拿以下式來計(jì)算S8區(qū)間的完全不等數(shù)的至少個(gè)數(shù)。
其他每一個(gè)SN區(qū)間可用這種方法計(jì)算.
隨著區(qū)間的增大完全不等數(shù)計(jì)算的數(shù)量也會(huì)越來越多。以后都會(huì)超過8個(gè).
八、誤差分析
用最嚴(yán)格下取整的誤差分析方法，將SN區(qū)間捆綁成
的LN區(qū)間。在每一個(gè)大于S8的SN區(qū)間計(jì)算都大于8個(gè)完全不等數(shù)，在每一個(gè)LN區(qū)間都有
級(jí)別等數(shù)數(shù)列，每級(jí)級(jí)別有4種等數(shù)數(shù)列，每一級(jí)別一種等數(shù)篩一次誤差極限是1.每一個(gè)LN區(qū)間誤差極限是
.
最嚴(yán)格下取整后大于L4的區(qū)間仍然還有4個(gè)完全不等數(shù)。
九、總結(jié)
根據(jù)以上的論證，在大于S8區(qū)間每一個(gè)SN區(qū)間都有8個(gè)以上的完全不等數(shù).
嚴(yán)格的下取整后，大于L4的每一個(gè)LN區(qū)間都還有多于4個(gè)的完全不等數(shù)以上的量。
LN區(qū)間是無限多的，完全不等數(shù)與孿生素?cái)?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的，所以孿生素?cái)?shù)也是無限多的。
這個(gè)證明期待著權(quán)威的表態(tài)。[2]
素?cái)?shù)——那些因數(shù)除了1就是他們本身的數(shù)們——就像代數(shù)的原子一樣。從歐幾里得——他在2000年前證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)——開始，它們就讓無數(shù)數(shù)學(xué)家們?yōu)橹畠A倒。
因?yàn)樗財(cái)?shù)從根本上和乘法相關(guān)，理解他們和加法相關(guān)的性質(zhì)就變得很困難。一些數(shù)學(xué)上最古老的未解之謎就和素?cái)?shù)和加法相關(guān)，其中之一就是孿生素?cái)?shù)猜想——存在無限多組差為2的素?cái)?shù)對(duì)。另一個(gè)則是哥德巴赫猜想，這個(gè)猜想提出所有的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。
在自然數(shù)列的起始部分存在著大量的素?cái)?shù)，但是隨著數(shù)字變大，他們變得越來越稀少。舉例來說，在前10個(gè)自然數(shù)里，40%都是素?cái)?shù)——2，3，5和7——但是在所有的10位數(shù)里，僅有4%的數(shù)是素?cái)?shù)。在過去的一個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家們掌握了素?cái)?shù)減少的規(guī)律：在大數(shù)中，連個(gè)素?cái)?shù)之間的間隔大約是位數(shù)的2.3倍。舉例說明，在100位的數(shù)中，兩個(gè)素?cái)?shù)的平均間隔大約是230。
但是這只是平均而言。素?cái)?shù)通常比平均預(yù)計(jì)得更加緊密地出現(xiàn)，或者相隔更遠(yuǎn)。具體來說，“孿生”素?cái)?shù)通常扎堆出現(xiàn)，比如3和5還有11和13，他們的差僅為2。而在大數(shù)中，孿生素?cái)?shù)似乎從沒有完全消失（目前發(fā)現(xiàn)的最大的孿生素?cái)?shù)是
和
）。
1849年，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿爾方·波利尼亞克提出了“波利尼亞克猜想”：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)
。k等于1時(shí)就是孿生素?cái)?shù)猜想，而k等于其他自然數(shù)時(shí)就稱為弱孿生素?cái)?shù)猜想（即孿生素?cái)?shù)猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亞克作為孿生素?cái)?shù)猜想的提出者。
從那時(shí)開始，這些猜想的內(nèi)在吸引力冠予了它們數(shù)學(xué)的圣杯的稱號(hào)，雖然他們可能沒有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。雖然有很多數(shù)學(xué)家們致力于證明這一猜想，他們還是不能排除素?cái)?shù)的間隔會(huì)一直增長(zhǎng)最終超過一個(gè)特定上限的可能。
1921年，英國(guó)數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德提出一個(gè)與波利尼亞克猜想類似的猜想，通常稱為“哈代-李特爾伍德猜想”或“強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想”（即孿生素?cái)?shù)猜想的強(qiáng)化版）。這一猜想不僅提出孿生素?cái)?shù)有無窮多對(duì)，而且還給出其漸近分布形式。
2013年5月，張益唐在孿生素?cái)?shù)研究方面所取得的突破性進(jìn)展，他證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式。在最新研究中，張益唐在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，發(fā)現(xiàn)存在無窮多個(gè)之差小于7000萬的素?cái)?shù)對(duì)，從而在孿生素?cái)?shù)猜想這個(gè)重要問題的道路上前進(jìn)了一大步。
張益唐的論文在5月14號(hào)在網(wǎng)絡(luò)上公開，5月21日正式發(fā)表。5月28號(hào)，這個(gè)常數(shù)下降到了6000萬。僅僅過了兩天的5月31號(hào)，下降到了4200萬。又過了三天的6月2號(hào)，則是1300萬。次日，500萬。6月5號(hào)，40萬。
在英國(guó)數(shù)學(xué)家TimGowers等人發(fā)起的“Polymath”計(jì)劃中，孿生素?cái)?shù)問題成為了一個(gè)在全球數(shù)學(xué)工作者中利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行合作的一個(gè)典型。人們不斷地改進(jìn)張益唐的證明，進(jìn)一步拉近了與最終解決孿生素?cái)?shù)猜想的距離。在2014年2月，張益唐的七千萬已經(jīng)被縮小到246。
研究?jī)?nèi)容
非估算性
早在20世紀(jì)初，德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道就推測(cè)孿生素?cái)?shù)有無窮多，許多跡象也越來越支持這個(gè)猜想。最先想到的方法是使用歐拉在證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)所采取的方法。設(shè)所有的素?cái)?shù)的倒數(shù)和為：
1920年代，通過使用著名的篩理論（Sievetheory，基于埃拉托斯特尼篩法的理論），挪威的維果·布朗（ViggoBrun）證明了2能表示成兩個(gè)最多有9個(gè)素?cái)?shù)因子的數(shù)的差。這個(gè)結(jié)論已經(jīng)有些近似于孿生素?cái)?shù)猜想了?？梢钥吹剑灰獙⑦@個(gè)證明中的“最多有9個(gè)素?cái)?shù)因子的數(shù)”改進(jìn)到“最多有1個(gè)素?cái)?shù)因子的數(shù)”，就可以證明孿生素?cái)?shù)猜想了。
1966年由已故的我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)利用篩法（sievemethod）所取得的。陳景潤(rùn)證明了：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p+2要么是素?cái)?shù)，要么是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。這個(gè)結(jié)果與他關(guān)于Goldbach猜想的結(jié)果很類似。一般認(rèn)為，由于篩法本身的局限性，這一結(jié)果在篩法范圍內(nèi)很難被超越。
估算性
證明孿生素?cái)?shù)猜想的另一類結(jié)果則是估算性結(jié)果。這類結(jié)果估算的是相鄰素?cái)?shù)之間的最小間隔Δ，更確切地說是：
翻譯成白話文，這個(gè)表達(dá)式所定義的是兩個(gè)相鄰素?cái)?shù)之間的間隔，與其中較小的那個(gè)素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)值之比在整個(gè)素?cái)?shù)集合中所取的最小值。很顯然，孿生素?cái)?shù)猜想如果成立，那么Δ必須等于0。因?yàn)閷\生素?cái)?shù)猜想表明
對(duì)無窮多個(gè)n成立，而
，因此兩者之比的最小值對(duì)于孿生素?cái)?shù)集合（從而對(duì)于整個(gè)素?cái)?shù)集合也）趨于零。不過要注意，
只是孿生素?cái)?shù)猜想成立的必要條件，而不是充分條件。換句話說，如果能證明
，則孿生素?cái)?shù)猜想就不成立；但證明卻并不意味著孿生素?cái)?shù)猜想就一定成立。
對(duì)Δ最簡(jiǎn)單的估算來自于素?cái)?shù)定理。按照素?cái)?shù)定理，對(duì)于足夠大的x，在x附近素?cái)?shù)出現(xiàn)的幾率為
，這表明素?cái)?shù)之間的平均間隔為
（這也正是Δ的表達(dá)式中出現(xiàn)ln(pn)的原因），從而
給出的其實(shí)是相鄰素?cái)?shù)之間的間隔與平均間隔的比值，其平均值顯然為1。平均值為1，最小值顯然是小于等于1，因此素?cái)?shù)定理給出
。
對(duì)Δ的進(jìn)一步估算始于Hardy和Littlewood。一九二六年，他們運(yùn)用圓法（circlemethod）證明了假如廣義Riemann猜想成立，則
。這一結(jié)果后來被Rankin改進(jìn)為
。但這兩個(gè)結(jié)果都有賴于本身尚未得到證明的廣義Riemann猜想，因此只能算是有條件的結(jié)果。一九四零年，Erd?s利用篩法首先給出了一個(gè)不帶條件的結(jié)果：
（即把素?cái)?shù)定理給出的結(jié)果中的等號(hào)部分去掉了）。此后Ricci于一九五五年，Bombieri和Davenport于一九六六年，Huxley于一九七七年，分別把這一結(jié)果推進(jìn)到
。Goldston和Yildirim之前最好的結(jié)果是Maier在一九八六年取得的
。
2003年，Goldston和Yildirim發(fā)表了一篇論文，聲稱證明了。但2003年4月23日，AndrewGranville（UniversitydeMontreal）和KannanSoundararajan（UniversityofMichigan）發(fā)現(xiàn)了Goldston和Yildirim證明中的一個(gè)錯(cuò)誤。2005年，他們與JanosPintz合作完成了證明。此外，若Elliott-Halberstam猜想成立，孿生素?cái)?shù)猜想的弱化版本——存在無窮多對(duì)相距16的素?cái)?shù)——在時(shí)也會(huì)成立。
2013年5月14日，《自然》（Nature）雜志在線報(bào)道張益唐證明了“存在無窮多個(gè)之差小于7000萬的素?cái)?shù)對(duì)”，這一研究隨即被認(rèn)為在孿生素?cái)?shù)猜想這一終極數(shù)論問題上取得了重大突破。
盡管從2到7000萬是一段很大的距離，《自然》的報(bào)道還是稱其為一個(gè)“重要的里程碑”。正如美國(guó)圣何塞州立大學(xué)數(shù)論教授DanGoldston所言，“從7000萬到2的距離（指猜想中尚未完成的工作）相比于從無窮到7000萬的距離（指張益唐的工作）來說是微不足道的。”
強(qiáng)化版猜想
1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了更一般的猜想：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)的情況就是孿生素?cái)?shù)猜想。因此，波利尼亞克有時(shí)也被認(rèn)為是孿生素?cái)?shù)猜想的提出者。
1921年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代和李特爾伍德提出了以下的強(qiáng)化版猜想：設(shè)為前N個(gè)自然數(shù)里孿生素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。那么
其中的常數(shù)是所謂的孿生素?cái)?shù)常數(shù)，其中的p表示素?cái)?shù)。
哈代和李特爾伍德的猜測(cè)實(shí)際上是存在已久的孿生素?cái)?shù)猜想的加強(qiáng)版。孿生素?cái)?shù)猜想是指“孿生素?cái)?shù)有無窮多個(gè)”。這個(gè)猜想至今仍未被證明。然而，哈代和李特爾伍德的猜測(cè)并不是需要建立在孿生素?cái)?shù)猜想成立的前提上。
這一猜想不僅提出孿生素?cái)?shù)有無窮多對(duì)，而且還給出其漸近分布形式。中國(guó)數(shù)學(xué)家周海中指出：要證明強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想，人們?nèi)砸鎸?duì)許多巨大的困難。
證明思路
一個(gè)由互不相同的非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的集合
，若對(duì)任意素?cái)?shù)p，H中數(shù)除以p得到的余數(shù)類少于p個(gè)，則定義集合H為可接受的。如果證明了存在無窮多個(gè)n，使得
中至少有兩個(gè)素?cái)?shù)，那么我們就可推出：存在無窮多對(duì)素?cái)?shù)，每一對(duì)的兩素?cái)?shù)的差小于
。特別地，
是可接受的，如果能對(duì)它證明結(jié)論，那么孿生素?cái)?shù)猜想就迎刃而解了。
定義
，如果n為素?cái)?shù)；定義
，如果n為合數(shù)。如果我們可以恰當(dāng)選取函數(shù)lambda(n)，之后定義
然后證明
的話，我們就證完了。張益唐巧妙地選取了lambda函數(shù)，然后成功證明了對(duì)
，結(jié)論成立。然后他直接使用了前
個(gè)素?cái)?shù)作為可接受的集合。
之后經(jīng)過數(shù)學(xué)家的辛勤工作，對(duì)
，結(jié)論仍然成立，對(duì)應(yīng)的可接受數(shù)組為
。因此，對(duì)任意的x，在
之間存在差距小于246的素?cái)?shù)對(duì)。
素?cái)?shù)
質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，有無限個(gè)。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能整除以其他自然數(shù)（質(zhì)數(shù)），換句話說就是該數(shù)除了1和它本身以外不再有其他的因數(shù)；否則稱為合數(shù)。根據(jù)算術(shù)基本定理，每一個(gè)比1大的整數(shù)，要么本身是一個(gè)質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的乘積；而且如果不考慮這些質(zhì)數(shù)在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的。最小的質(zhì)數(shù)是2。
只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)，叫質(zhì)數(shù)（或稱素?cái)?shù)）。（如：由
，可知2的因數(shù)只有1和它本身2這兩個(gè)約數(shù)，所以2就是質(zhì)數(shù)。與之相對(duì)立的是合數(shù)：“除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有其它因數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)?！比纾?/span>
，很顯然，4的因數(shù)除了1和它本身4這兩個(gè)因數(shù)以外，還有因數(shù)2，所以4是合數(shù)。）
100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100內(nèi)共有25個(gè)質(zhì)數(shù)。
質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個(gè)經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為
，設(shè)
，那么，
是素?cái)?shù)或者不是素?cái)?shù)。
- 如果為素?cái)?shù)，則要大于，所以它不在那些假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。
- 如果為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)都可以分解為幾個(gè)素?cái)?shù)的積；而的最大公約數(shù)是1，所以
不可能被整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。
因此無論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說，素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。
其他數(shù)學(xué)家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫默的證明更為簡(jiǎn)潔，HillelFurstenberg則用拓?fù)鋵W(xué)加以證明。
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小編整理：神功是武則天使用的年號(hào)，這個(gè)年號(hào)屬于唐朝，使用時(shí)間是679年九月—681年二月。此外，這個(gè)年號(hào)是武則天在位期間使用的最后一個(gè)年號(hào)，她在位期間還使用了其他一些年號(hào)，比如光宅、垂拱、永昌、載初等?？偟膩碚f，神功是一個(gè)歷史上的年號(hào)，它代表了一個(gè)時(shí)期的歷史事
沙特阿拉伯王國(guó)（阿拉伯語：????????????????，英語：Kingdom of Saudi Arabia），通稱沙特阿拉伯（Saudi Arabia），簡(jiǎn)稱沙特。沙特位于阿拉伯半島。東瀕波斯灣，西臨紅海，同約旦、伊拉克、科威特、阿聯(lián)酋、阿曼、也門等國(guó)接壤，并經(jīng)法赫德國(guó)王大橋與巴林相接。海岸線
辣根（拉丁學(xué)名：Armoracia rusticana)，又名馬蘿卜、西洋山葵、山葵大根等，是十字花科（Brassicaceae）辣根屬（Armoracia）的多年生草本植物，起源于地中海和東歐，現(xiàn)在中歐、東歐和亞洲等地廣泛栽培，中國(guó)黑龍江、吉林、遼寧及北京等地有栽培。辣根喜冷涼，耐寒；適宜于土壤深
尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒寫！
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