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狄利克雷L函數(shù)（狄利克雷L函數(shù)）

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狄利克雷L函數(shù)

狄利克雷L函數(shù)，又稱對(duì)應(yīng)于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函數(shù)。

基本信息

中文名	狄利克雷L函數(shù)
應(yīng)用	數(shù)學(xué)
意義	狄利克雷級(jí)數(shù)
性質(zhì)	復(fù)變量函數(shù)

狄利克雷L函數(shù)

在數(shù)學(xué)中，狄利克雷L函數(shù)是狄利克雷級(jí)數(shù)的特例，它是形如下式的復(fù)變量函數(shù)

在此 χ 是一個(gè)狄利克雷特征，

的實(shí)部大于一。此函數(shù)可解析延拓為整個(gè)復(fù)平面上的亞純函數(shù)。

約翰·彼得·狄利克雷證明對(duì)所有 χ 俱有

，并借此證明狄利克雷定理。若 χ 是主特征，則

在

有單極點(diǎn)。

正文

又稱對(duì)應(yīng)于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函數(shù), 即函數(shù)，其中

,Ⅹ(n)是模q的一個(gè)特征，復(fù)變數(shù)

。它在

時(shí)就是黎曼ζ函數(shù)。這類函數(shù)最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)分布問(wèn)題時(shí)引進(jìn)的。它的性質(zhì)和作用，都與黎曼ζ函數(shù)類似，在許多數(shù)論問(wèn)題中有重要應(yīng)用。它的主要性質(zhì)有：

① 當(dāng)

時(shí)，

，式中

表示對(duì)全體素?cái)?shù)求積。因而

。

② 當(dāng)

是模q的主特征時(shí)，

于是，通過(guò)

就把

解析開(kāi)拓到全平面。

③ 當(dāng)Ⅹ是模q的非主特征時(shí)，一定存在惟一的一個(gè)模q*，使當(dāng)

時(shí)，有

④ 當(dāng)Ⅹ是模q的原特征時(shí),

可解析開(kāi)拓為整函數(shù)，且滿足函數(shù)方程

，

式中

τ(Ⅹ)為僅與Ⅹ有關(guān)的常數(shù)，且滿足

的共軛特征，即

⑤ 對(duì)任意的模q的特征Ⅹ，有

。

⑥設(shè)Ⅹ是模q的原特征，那么

是L(s,Ⅹ)的一級(jí)零點(diǎn)，稱為“無(wú)聊零點(diǎn)”；

可能有的其他零點(diǎn)（稱為“非無(wú)聊零點(diǎn)”）一定都位于帶形區(qū)域

中;L(s,Ⅹ)確有無(wú)窮多個(gè)非無(wú)聊零點(diǎn)。

⑦　設(shè)

，以

表

在區(qū)域

，

中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。因此，當(dāng)Ⅹ 是模q的原特征和

時(shí)，有

⑧　設(shè)

，以

表

在區(qū)域

中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。再設(shè)

，其中Σ表對(duì)模q的所有特征求和。因此，當(dāng)

時(shí)，有

。此結(jié)果已被改進(jìn)和推廣，通常稱之為L(zhǎng)函數(shù)的零點(diǎn)密度定理。

⑨　在直線

上，

。由此，對(duì)任意固定的q，可推出算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)定理。

⑩　存在絕對(duì)正常數(shù)X1，使得對(duì)任意固定的模q,在所有的函數(shù)

中，僅可能除去一個(gè)例外函數(shù)外，均在區(qū)域

內(nèi)無(wú)零點(diǎn)。如果這樣的例外函數(shù)

存在，那么塣一定是模q的實(shí)的非主特征，且

在上述區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)一級(jí)實(shí)零點(diǎn)戓。這一性質(zhì)是狄利克雷L函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)的一個(gè)主要差別。研究對(duì)應(yīng)于實(shí)特征的L函數(shù)的實(shí)零點(diǎn)，是L函數(shù)論的最重要問(wèn)題之一。

A. 佩奇于1935年證明了：存在絕對(duì)正常數(shù)

，使得對(duì)任意的實(shí)原特征Ⅹ modq，

，必有

。由此可推出，存在絕對(duì)正常數(shù)

，使得對(duì)任意的實(shí)特征 Ⅹ modq，

，當(dāng)時(shí)

，

。

　C.L.西格爾于1936年證明了：對(duì)任給的正數(shù)ε，存在正常數(shù)

，使得對(duì)任意的實(shí)原特征Ⅹmodq,

，必有。由此推出，對(duì)任給正數(shù)ε，必有正常數(shù)

，使得對(duì)任意的實(shí)特征 Ⅹ modq，

，當(dāng)時(shí)

，

。

C. L. 西格爾的結(jié)果雖然優(yōu)于A. 佩奇的結(jié)果，但是常數(shù)

和

至今沒(méi)有辦法計(jì)算出來(lái)。

從性質(zhì)⑩、?、?可推得有余項(xiàng)估計(jì)的算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)定理（見(jiàn)素?cái)?shù)分布）。類似于黎曼假設(shè)，有所謂廣義黎曼假設(shè)，即猜測(cè)所有的狄利克雷L函數(shù)的非無(wú)聊零點(diǎn)都位于直線

上，通常簡(jiǎn)記作GRH。大量的數(shù)值計(jì)算以及理論上的探討都支持這一假設(shè)，但它至今還沒(méi)有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數(shù)論結(jié)果，雖然都是一些假設(shè)性的結(jié)果（其中有的已被無(wú)條件地證明了），但是卻指出了研究L函數(shù)零點(diǎn)的重要意義和方向。

參考書目

K.Prachar,Primzahlverteilung,Springer-Verlag, Berlin,1957.

H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.

配圖

狄利克雷L函數(shù)

零點(diǎn)

若 χ 是原特征，χ( ? 1) = 1，則 L(s,χ) 在 Re(s)

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