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開普勒第三定律（行星運動三定律之一）

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開普勒第三定律

本詞條是多義詞，共2個義項

行星運動三定律之一

開普勒第三定律也叫行星運動定律。開普勒第三定律的常見表述是：繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其各自橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個常量。

德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，通過開普勒本人的觀測和分析后，于1609年在他出版的《新天文學》上發(fā)表了關(guān)于行星運動的前兩條定律，又于1618年，在《宇宙諧和論》提出了第三條定律。

開普勒第三定律為經(jīng)典力學的建立、牛頓的萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，都作出重要的提示。

基本信息

中文名	開普勒第三定律
外文名	Keplers third law of planetary motion
別名	周期定律、調(diào)和定律
作用	用于橢圓軌道的計算
應(yīng)用學科	物理學

展開

定律定義

開普勒在《宇宙諧和論》上的原始表述：繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其各自橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個常量。

常見表述：繞同一中心天體的所有行星的軌道的半長軸的三次方

跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方

的比值都相等，即

（其中M為中心天體質(zhì)量，k為開普勒常數(shù)，這是一個只與被繞星體有關(guān)的常量，G為引力常量，其2006年國際推薦數(shù)值為

不確定度為

。

推導過程

萬有引力定律是用開普勒第三定律導出的，因此不能再用萬有引力定律來推導開普勒第三定律，循環(huán)論證是不嚴謹?shù)?。開普勒第三定律是開普勒根據(jù)第谷的觀測數(shù)據(jù)來計算出來的，沒有見過推導，推導過程只能是與萬有引力定律的聯(lián)系，不能叫推導。

觀測數(shù)據(jù)

開普勒的原始數(shù)據(jù)

右圖是開普勒經(jīng)過艱苦計算所發(fā)現(xiàn)第三定律時的原始數(shù)據(jù)表：

開普勒整理數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，右圖下方的坐標中各點大致連成一條直線，因此他認為行星的運行周期T和

成正比（其中R為軌道半徑），并計算出該直線的斜率為

，即

。

常規(guī)方法

方法一：

現(xiàn)實中的星體運動的軌道大多數(shù)是橢圓，于是便有以下推導：

R為半長軸

利用微元，矢徑R在很小的Δt時間內(nèi)，掃過面積為ΔS，矢徑R與橢圓該點的切線方向夾角為α，橢圓的弧長為ΔR。在

時，掃過面積可以看作為三角形，

面積速度為

設(shè)各行星繞太陽運行周期為T，橢圓半長軸為a、半短軸為b、太陽到橢圓中心的距離為c

則行星繞太陽運動的周期

。

選近日點A和遠日點B來研究，由ΔS相等可得

從近日點運動到遠日點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律得：

得：

由幾何關(guān)系得：

，

所以

整理得

。

方法二：

行星繞太陽運動橢圓軌道的面積，根據(jù)橢圓的性質(zhì)則橢圓的面積

（a為長軸，b為短軸）由于單位時間內(nèi)極徑所掃過的面積

則周期

（1）

根據(jù)橢圓的性質(zhì)和開普勒第一定律，半長軸

（2）

（2）式得

（2）式代入（1）式得

（3）

根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓的半短軸

，則

（4）

式（4）代入（3）式得

，由此式可知繞同一中心天體運行的人造星體軌道半長軸的三次方跟它們的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值由中心天體的質(zhì)量所決定。

軌道能量推導

由運動總能量

，得

，則運動周期為

即

其中

，

和

是方程

的根，它們是橢圓運動的兩個轉(zhuǎn)折點，a為軌道半徑，G為引力常量，M為中心天體的質(zhì)量。

適用范圍

成立條件

開普勒定律是一個普適定律，適用于一切二體問題。開普勒定律不僅適用于太陽系，他對具有中心天體的引力系統(tǒng)（如行星-衛(wèi)星系統(tǒng)）和雙星系統(tǒng)都成立。圍繞同一個中心天體運動的幾個天體，它們軌道半徑三次方與周期的平方的比值（

)都相等，為

，M為中心天體質(zhì)量。這個比值是一個與行星無關(guān)的常量，只與中心體質(zhì)量有關(guān)，那么M相同是這個比值相同。

用開普勒第三定律解決二體問題時，可將兩個質(zhì)點在相互作用下的運動，可約化為一個質(zhì)點相對另一個質(zhì)點的相對運動，質(zhì)點的質(zhì)量需改用約化質(zhì)量

，即

，其中

，為兩質(zhì)點的質(zhì)量。

拓廣形式

開普勒第三定律也可以表示為：

引入天體質(zhì)量后可表示為：

其中

，為兩個相應(yīng)的行星質(zhì)量，

，

為兩個相應(yīng)行星圍繞同一恒星運動的周期，

，

為兩個行星圍繞同一恒星運動的平均軌道半徑。通過拓展形式，可以根據(jù)繞同一行星的兩星體軌道半徑估測星體質(zhì)量，或根據(jù)星體質(zhì)量估測運行軌道。

應(yīng)用實例

天體

實際星體問題大多數(shù)為二體問題，實際應(yīng)用時，人們把開普勒定律看成是牛頓定律和萬有引力定律的表現(xiàn)形式。(M為中心天體質(zhì)量，m為行星質(zhì)量)

在

時，可以認為

，這就是開普勒定律的第三表達式，其中

為開普勒常數(shù)。

由此可見，開普勒定律只是一個近似定律。

通過開普勒第三定律，在天體運行中有以下應(yīng)用：

1.通過測出星體的繞轉(zhuǎn)周期以及半長軸，算出雙星的質(zhì)量及估計中心天體的質(zhì)量；

2.通過兩繞同一中心天體運動的行星的公轉(zhuǎn)周期，算出這兩行星分別到中心天體的平均距離。（因?qū)嶋H軌道為橢圓形，故采用平均距離）。

3.在星—箭分離問題中，通過星箭橢圓運動周期之比，計算星箭運動軌跡半長軸之比。

二體問題

二體問題是天體力學中的一個基本問題，它是指可視為質(zhì)點的兩個天體在相互間唯一的萬有引力作用下的運動規(guī)律問題。二體問題可以用牛頓萬有引力定律和牛頓運動定律來描述并得到完全解決。開普勒三定律是二體問題的解。

航天

開普勒軌道這個名詞時開普勒以后的人提出來的，并把開普勒軌道擴展到二體問題的解。由于航天器的軌道運動也符合開普勒三定律，因此開普勒軌道同樣適用于航天器。

開普勒軌道的定義：

1.符合開普勒三定律的天體或航天器的運行軌道；

2.由二體問題的解的道德天體或航天器的運行軌道。

由定義可知，開普勒的軌道也稱為二體問題軌道，符合上述定義的開普勒軌道也稱為理想的開普勒軌道。航天器的開普勒軌道可由如下二體問題的基本方程解得：

上述方程描述在慣性坐標系中航天器相對于天體的軌道運動，式中的

是從天體（質(zhì)量記為

）到航天器（

）的位置矢量，

是二體系統(tǒng)的引力常數(shù)，G是萬有引力常數(shù)。由于

，可以只考慮

對

的引力，這種情況可把航天器開普勒軌道看成是限制性二體問題的解，即看成是在慣性固體天體中心引力場中的運動（有心力運動）軌跡。

電學

開普勒第三定律也適用于部分電荷在點電場中運動的情況。因為庫侖力與萬有引力均遵循“平方反比”規(guī)律，通過類比可知，帶電粒子在電場中的橢圓運動也遵循開普勒第三定律。

先構(gòu)造一個勻速圓周運動的模型，根據(jù)牛頓第二運動定律和庫侖定律計算圓周運動周期，再將粒子由靜止開始的直線加速運動當做一個無限“扁”的橢圓運動，用開普勒第三定律計算粒子運動時間。

發(fā)展簡史

約翰尼斯開普勒

1576年，在丹麥國王腓特烈二世的資助下，第谷在汶島建立了一個當時最先進的天文臺，裝備了他親自設(shè)計的大量古代天文儀器。利用這些儀器，第谷和他的助手們在汶島進行了長達二十一年的天文觀測。他重新精確地測定了許多恒星的位置，測出二十年內(nèi)每個行星（太陽系中）的位置，積累了豐富的關(guān)于行星運動的觀測資料。

1600年，德國天文學家開普勒應(yīng)丹麥天文學家第谷之邀，開普勒前往布拉格做第谷的助手。次年，第谷去世，他將自己一生積累的觀測資料留給了開普勒。

開普勒分析第谷測量行星位置的多年記錄（特別是火星的橢圓形軌道），在1619年發(fā)表他的第三行星定律。

到了1690年左右，英國人牛頓以“萬有引力”概念解開行星軌道之謎，并且將開普勒第三行星定律改進成，G是萬有引力常數(shù)，M是太陽質(zhì)量，m是行星質(zhì)量，P是公轉(zhuǎn)周期。

19世紀初德國數(shù)學家高斯將牛頓的式子改寫為

，其中k為高斯引力常數(shù)，

成為了G的“代用品”。

到了19世紀后期，物理量（包括G、M、m、a和光速c）較前代測得更準確，當時的美國海軍天文臺臺長紐康負責編算天文年歷，他把高斯引力常數(shù)k值修訂。1976年，1A.U.采用紐康的k值和開普勒第三定律來厘定天文單位的定義

1798年，英國科學家亨利·卡文迪許通過扭秤實驗，測量出中了引力常量G的大小是

，卡文迪許對G的測量進一步完善了開普勒第三定律。G在2006年的國際推薦值為

。

定律影響

開普勒的定律給予亞里士多德派與托勒密派在天文學與物理學上極大的挑戰(zhàn)。他的論點，打破了亞里士多德留下的天文學與物理學中的陳舊觀念。

開普勒定律的一個重要功績，就是后來在1684年牛頓根據(jù)開普勒定律及自己研究的運動定律，破譯了天文運動的機密——萬有引力定律。

開普勒的三定律是天文學的一次革命，它摧毀了托勒密繁雜的本輪宇宙體系，完善和簡化了哥白尼的日心宇宙體系。它對后人尋找出太陽系結(jié)構(gòu)的奧秘具有重大的啟發(fā)意義，為經(jīng)典力學的建立、牛頓的萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，都作出重要的提示。

相關(guān)合集

開普勒三大定律

共3個詞條938閱讀

開普勒第一定律

1618年開普勒提出的定律

開普勒第二定律

三條開普勒定律之一

開普勒第三定律

行星運動三定律之一

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